Bài tập 5 - Trang 113 - SGK Giải tích 12


Tính các tích phân.

5. Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\)    ;        b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\)

c) \(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx\)

 

Hướng dẫn giải :

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}d(1+3x)\)

 \(=\frac{1}{3}\frac{2}{5}(1+3x)^{\frac{5}{2}}|_{0}^{1}=4\tfrac{2}{15}\)

b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx= \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+1)}dx\)                                                        \(= \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x(x+1)+1}{x+1}dx\)    

                \(=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(x+\frac{1}{x+1})dx=(\frac{x^{2}}{2}+ln\left | x+1 \right |)|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}+ln\frac{3}{2}\)

c) Đặt u = ln(1+x), \(dv=\frac{1}{x^{2}}dx\) => \(du=\frac{1}{1+x}\), 
                                                         \(dv=-\frac{1}{x}-1=-\frac{x+1}{x}.\)
Khi đó :
\(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx = -\frac{x+1}{x}ln(1+x)|_{1}^{2}+\int_{1}^{2}\frac{dx}{x}=3ln\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Chú ý : Ta chọn v hợp lí (thêm -1) để tính \(\int_{0}^{1}vdu\) được dễ dàng.

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2018 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..