Bài tập 4 - Trang 113- SGK Toán Giải tích 12


4. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

Bài 4. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)   ;      b) \(\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\)

c)\(\int_{0}^{1}ln(1+x))dx\)      ;       d)\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\)

 Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(u=x+1\); \(dv=sinxdx\)  \(\Rightarrow du = dx ;v = -cosx\). Khi đó:

 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx=-(x+1)cosx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx\)

\(=1 +sinx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\)

b)\(\frac{1}{9}(2e^{3}+1)\). HD:  Đặt u = ln x ,dv = x2dx

c) Đặt 

\(\eqalign{
& u = \ln x \Rightarrow du = {1 \over x}dx \cr
& dv = {x^2}dx \Rightarrow v = {{{x^3}} \over 3} \cr} \)

Do đó ta có:

\(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = {{{x^3}} \over 3}.lnx\left| {_1^e - \int\limits_1^e {{{{x^3}} \over 3}dx = {{{e^3}} \over 3} - \left[ {{{{x^3}} \over 9}} \right]} \left| {_1^e} \right.} \right.}\)\(  = {{{e^3}} \over 3} - {{{e^3} - 1} \over 9} = {{2{e^3} + 1} \over 9}\)

d) Ta có :

\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{x}dx= \int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}dx\)\(-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\)

Đặt \(u= {x^2} - 1\); \(dv{\rm{ }} = {\rm{ }}{e^{ - x}}dx\) \(\Rightarrow du = 2xdx ;v = -e^{-x}\) Khi đó :

\(\int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}=-e^{-x}(x^{2}-1)|_{0}^{1}+2\int_{0}^{1}xe^{-x}dx\)

\(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\)

 Vậy : \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\) =\(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\) = -1

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu