Bài tập 4 - Trang 113- SGK Toán Giải tích 12


4. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

4. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)   ;      b) \(\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\)

c)\(\int_{0}^{1}ln(1+x))dx\)      ;       d)\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\)

 

Hướng dẫn giải:

a) Đặt u = x +1; dv=sinxdx  => du = dx ;v = -cosx. Khi đó:

 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx=-(x+1)cosx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx\)


\(=1 +sinx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\)

b)\(\frac{1}{9}(2e^{3}+1)\). HD:  Đặt u = ln x ,dv = x2dx

c) 2ln2 - 1. HD : Đặt u = ln(1+x); dv=dx  .

d)-1. HD. Cách 1: (Áp dụng công thức tính tích phân từng phần hai lần)

Đặt u = x2-2x-1 ; dv = e-xdx

Cách 2. (Áp dụng công thức tính tích phân từng phần một lần):

Ta có :

\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{x}dx= \int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}dx-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\)

Đặt u = x2-1 ; dv = e-xdx => du = 2xdx ;v = -e-x, Khi đó :

\(\int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}=-e^{-x}(x^{2}-1)|_{0}^{1}+2\int_{0}^{1}xe^{-x}dx\)

\(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\)

 Vậy : \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\) =\(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx-=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\) = -1

Nhận xét :Do để ý đến tính chất đặc biệt của bài toán nên đặt u hợp lí (cách 2 ta đã rút ngắn được lời giải)

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2017 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..