Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.4 trên 21 phiếu

Giải bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

Đề bài

Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)   ;      b) \(\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\)

c)\(\int_{0}^{1}ln(1+x))dx\)      ;       d)\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\)

b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\)

c) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\)

d) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x - 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)\sin xdx} = \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\= \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= 1 + 1 = 2\end{array}\).

b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx = \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} \\= \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \left. {\frac{{{x^3}}}{9}} \right|_1^e\\= \frac{{{e^3}}}{3} - \left( {\frac{{{e^3}}}{9} - \frac{1}{9}} \right) = \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}\left( {2{e^3} + 1} \right)\end{array}\)

c) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} = \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\= \ln 2 - \left( {1 - \ln 2} \right) = 2\ln 2 - 1\end{array}\)

d) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x + 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x - 2} \right)dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \left. { - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|_0^1 + 2\int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|_0^1 + 2{I_1}\\= 2{e^{ - 1}} - 1 + 2{I_1}\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\dv = {e^{ - x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\dv = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}\Rightarrow {I_1} = \left. { - {e^{ - x}}\left( {x - 1} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {x - 1} \right)} \right|_0^1\left. { - {e^{ - x}}} \right|_0^1\\= - 1 - \left( {{e^{ - 1}} - 1} \right) =- {e^{ - 1}}\end{array}\).

Vậy \(I = 2{e^{ - 1}} - 1 - 2{e^{ - 1}} =  - 1\).

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan