Bài tập 2 - Trang 112 - SGK Giải tích 12


2.Tính các tích phân.

2. Tính các tích phân sau:

a) \(\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)                               b) \(\int_0^{{\pi  \over 2}} s i{n^2}xdx\)

c) \(\int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\)                            d) \(\int_0^\pi  s in2xco{s^2}xdx\)

Hướng dẫn giải:

Ta có 1 - x = 0 ⇔ x = 1.

\(\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 - x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)

\(=  - \int_0^1 {(1 - x)} d(1 - x) + \int_1^2 {(x - 1)} d(x - 1)\)

\( =  - {{{{(1 - x)}^2}} \over 2}|_0^1 + {{{{(x - 1)}^2}} \over 2}|_1^2 = {1 \over 2} + {1 \over 2} = 1\)

b) \(\int_0^{{\pi  \over 2}} s i{n^2}xdx\)

\( = {1 \over 2}\int_0^{{\pi  \over 2}} {(1 - cos2x)} dx\)

\( = {1 \over 2}\left( {x - {1 \over 2}sin2x} \right)|_0^{{\pi  \over 2}} = {\pi  \over 4}\)

c) \(\int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx = \int_0^{ln2} {({e^{x + 1}} + {e^{ - x}})} dx\)

\( = ({e^{x + 1}} - {e^{ - x}})|_0^{ln2} = e + {1 \over 2}\)

d) Ta có : sin2xcos2x = \({1 \over 2}sin2x(1 + cos2x) = {1 \over 2}sin2x + {1 \over 4}sin4x\)

Do đó : \(\eqalign{
& \int_0^\pi s in2xco{s^2}xdx = \int_0^\pi {({1 \over 2}sin2x + {1 \over 4}sin4x)} dx \cr
& = ( - {1 \over 4}cos2x - {1 \over {16}}cos4x)|_0^\pi \cr
& = - {1 \over 4} - {1 \over {16}} + {1 \over 4} + {1 \over {16}} = 0 \cr} \)

 

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2017 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..