Bài tập 3 - Trang 113 -SGK Giải tích 12


3. Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân

3. Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\)      (Đặt u= x+1) 

b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\)       (Đặt x = sint )

c) \(\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\)    (Đặt u = 1+x.ex)

d)\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\)    (Đặt x= asint)

Hướng dẫn giải:

a) Đặt u= x+1 =>  du =  dx và x = u - 1.

Khi x =0 thì u = 1, x = 3 thì u = 4. Khi đó :

\(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) = \(\int_{1}^{4}\frac{(u-1)^{2}}{u^{\frac{3}{2}}}du =\int_{1}^{4}\frac{u^{2}-2u+1}{u^{\frac{3}{2}}}du\)

= \((\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4.u^{\frac{1}{2}}-2u^{\frac{-1}{2}})|_{1}^{4}=\frac{5}{3}\)

b) Đặt x = sint, \(0<t<\frac{\pi}{2}\). Ta có: dx = costdt

và \(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.\)

Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 1 thì  \(t= \frac{\pi}{2}\) . Khi đó:

\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2}tdt= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+cos2t)dt\)

\(=\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}sin 2t)|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-0)= \frac{\pi}{4}\)

c) ln(1+e) ;

d)\(\frac{\pi}{6}\) ;

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2018 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..