Bài tập 3 - Trang 113 -SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4 trên 13 phiếu

3. Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân

Bài 3. Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\)      (Đặt \(u= x+1\)) 

b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\)       (Đặt \(x = sint\) )

c) \(\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\)    (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\))

d)\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\)    (Đặt \(x= asint\))

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(u= x+1 \Rightarrow  du =  dx\) và \(x = u - 1\).

Khi \(x =0\) thì \(u = 1, x = 3\) thì \(u = 4\). Khi đó :

\(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) = \(\int_{1}^{4}\frac{(u-1)^{2}}{u^{\frac{3}{2}}}du =\int_{1}^{4}\frac{u^{2}-2u+1}{u^{\frac{3}{2}}}du\)

= \((\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4.u^{\frac{1}{2}}-2u^{\frac{-1}{2}})|_{1}^{4}=\frac{5}{3}\)

b) Đặt \(x = sint\), \(0<t<\frac{\pi}{2}\). Ta có: \(dx = costdt\)

và \(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.\)

Khi \(x = 0\) thì \(t = 0\), khi \(x = 1\) thì  \(t= \frac{\pi}{2}\) . Khi đó:

\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2}tdt= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+cos2t)dt\)

\(=\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}sin 2t)|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-0)= \frac{\pi}{4}\)

c) Đặt: \(t = 1 + x{e^x} \Rightarrow dt = {e^x}(1 + x)dx\)

Khi \(x = 0 \Rightarrow t = 1\)

Khi \(x = 1 \Rightarrow t = 1 + e\)

Do đó ta có:

\(\int\limits_0^1 {{{{e^x}(1 + x)} \over {1 + x{e^x}}}dx = \int\limits_1^{1 + e} {{{dt} \over t} = {\rm{[}}\ln |t|{\rm{]}}} } \left| {_1^{1 + e} = \ln (1 + e)} \right.\).

d) Đặt \(x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt\)

Đổi cận:

\(\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr
& x = {a \over 2} \Rightarrow t = {\pi \over 6} \cr} \)

Do đó ta có:

\(\int\limits_0^{{a \over 2}} {{1 \over {\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx = \int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {{{a\cos tdt} \over {\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }} = \int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {dt = t\left| {_0^{{\pi  \over 6}} = {\pi  \over 6}} \right.} } } \).

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan