Bài 5 trang 37 sgk giải tích 11

Bình chọn:
4.7 trên 25 phiếu

Bài 5. Giải các phương trình sau:

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) \(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\);  

b) \(3sin3x - 4cos3x = 5\);

c) \(2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0\);                          

d) \(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\).

Giải

a) \(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\) 

\( \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow \cos x.\cos {\pi  \over 3} - \sin x\sin {\pi  \over 3} = \cos {\pi  \over 4}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) = \cos {\pi  \over 4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + {\pi \over 3} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr
x + {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr
x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

b) \(3sin3x - 4cos3x = 5\)

\( \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1\)

 

Đặt \(\alpha =arccos{3\over5}\) thì phương trình trở thành

\(cosαsin3x - sinαcos3x = 1\)\( ⇔ sin(3x - α) = 1\)

\( ⇔ 3x - α = {\pi\over2} + k2π\)

\( \Leftrightarrow x = {\pi  \over 6} + {\alpha  \over 3} + {{k2\pi } \over 3}(k \in \mathbb{Z})\)

c) \(2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0\)

\(\Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2}\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x.\cos {\pi  \over 4} + \cos 2x.\sin {\pi  \over 4} = \sin {\pi  \over 6}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi  \over 4}} \right) = \sin {\pi  \over 6}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
2x + {\pi \over 4} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over {12}} + k\pi \hfill \cr
x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

d) \(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\)

\( \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1\)

Đặt \(\alpha = arccos{5\over13}\) thì phương trình trở thành

\(cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x - α) = 1\)

\(⇔ 2x-\alpha = k2π\) \(\Leftrightarrow x={\alpha\over2}+k\pi\), \((k ∈ \mathbb{Z})\)

(trong đó \(α = arccos{5\over13})\).

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu



Các bài liên quan