Để rào một khu đất có hai phần hình chữ nhật cho gia đình trồng hoa kiểng, một bác nông dân sử dụng 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E trước khuôn viên nhà dọc theo một con sông (như hình vẽ). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng/mét.
Tính diện tích đất lớn nhất bác nông dân rào được.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).
Gọi độ dài của hàng rào song song với bờ sông là \(x\left( {m,x > 0} \right)\);
độ dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào song song nhau là \(y\left( {m,y > 0} \right)\).
Diện tích đất mà bác nông dân rào được là: \(xy\left( {{m^2}} \right)\).
Tổng chi phí là 15 000 000 đồng nên ta có phương trình:
\(60\,000.x + 50\,000.3y = 15\,000\,000\)
hay \(6x + 15y = 1500\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:
\(6x + 15y \ge 2\sqrt {6x.15y} = 2\sqrt {90xy} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(2\sqrt {90xy} \le 1500\)
\(\sqrt {90xy} \le 750\) (nhân cả hai vế với \(\frac{1}{2}\))
\(90xy \le {750^2}\) hay \(90xy \le 562\,500\)
Suy ra \(xy \le \frac{{562\,500}}{{90}}\) hay \(xy \le 6250\)
Dấu “=” xảy ra là giá trị lớn nhất của \(xy\). Do đó \(xy\) lớn nhất bằng \(6\,250\).
Vậy diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể rào là \(6\,250{m^2}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép trong tình huống mở đầu:
a) Ô tô ở làn giữa;
b) Xe máy ở làn bên phải.
Tình huống mở đầu
Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe cơ giới được phép đi.
Em có biết ý nghĩa của biển báo giao thông ở Hình 2.4 (biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép theo xe, trên từng làn đường) không?
Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng trong mỗi trường hợp sau:
a) x nhỏ hơn hoặc bằng -2;
b) m là số âm;
c) y là số dương;
d) p lớn hơn hoặc bằng 2 024.
Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:
a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô;
b) Xe buýt chở được tối đa 45 người;
c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20 000 đồng.
Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:
a) x nhỏ hơn 5
b) a không lớn hơn b
c) m không nhỏ hơn n
Dùng các dấu >,<,\( \ge \), \( \le \) để diễn tả:
a) Tốc độ v đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4a
b) Trọng tải P của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4b.
Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau:
a) m lớn hơn 8
b) n nhỏ hơn 21
c) x nhỏ hơn hoặc bằng 4
d) y lớn hơn hoặc bằng 0.
Bất đẳng thức n \( \le \) 3 có thể phát biểu là:
A. n lớn hơn 3
B. n nhỏ hơn 3
C. n không nhỏ hơn 3
D. n không lớn hơn 3
Hệ thức nào sau đây là bất đẳng thức?
A. 1 – x = 0
B. x2 - 5x + 6 = 0
C. y2 \( \ge \) 0
D. x = y
Viết hệ thức biểu thị số thực a lớn hơn số thực b.
Hãy viết hai cặp bất đẳng thức cùng chiều và hai cặp bất đẳng thức ngược chiều.
Trong một thang máy có viết thông báo: “Tải trọng không vượt quá 1000kg”.
a) Những tải trọng nào sau đây có thể được chấp nhận bởi thang máy này? Giải thích vì sao.
900kg;
1000kg;
825kg;
1023kg.
b) Gọi \(a\) là trọng tải mà thang máy cho phép. Hỏi \(a\) có thể nhận những giá trị nào?
Chỉ ra các bất đẳng thức trong những hệ thức sau:
\(1,5 > \sqrt 2 \);
\(\frac{3}{4} = 0,75\);
\(100 < {5^3}\);
\({2.3^2} = 3.6\);
\(2\pi \ge 6\);
\(5 + \left( { - 4} \right) \le 2\).
Bạn Hùng cho biết: “Số tiền mình dùng để mua sách vở và các dụng cụ học tập chuẩn bị cho năm học mới chưa đến 500 nghìn đồng”.
Bạn Lan nói: “Ngày Chủ nhật vừa qua mình đã đọc ít nhất là 60 trang sách truyện”.
Gọi \(a\) (nghìn đồng) là số tiền bạn Hùng đã dùng để mua sách vở và dụng cụ học tập, \(b\) là số trang sách mà bạn Lan đã đọc trong ngày Chủ nhật. Hãy viết các bất đẳng thức diễn đạt thông báo của hai bạn Hùng và Lan.
Trong công viên giải trí X có những trò chơi dành riêng cho trẻ em ở độ tuổi theo quy định. Dưới đây là biển thông báo đối với các trò chơi A, B, C, D:
Gọi \(m\) là tuổi (tính tròn năm) của một trẻ em vào chơi công viên. Đối với mỗi thông báo, hãy viết bất đẳng thức mô tả điều kiện của \(m\) để bạn đó được phép tham gia trò chơi.
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a) \( - 4 + 7 > 5\);
b) \( - 12 \le - 3.4\);
c) \(135 + \left( { - 87} \right) < 150 + \left( { - 87} \right)\).
Chép lại bảng bên và điền vào những ô có dấu “?” trong bảng đó để ô bên trái và bên phải của bảng biểu diễn cùng một thông tin.
Dưới đây là hình ảnh của hai biển báo tốc độ giao thông (đơn vị: km/h) dành cho ô tô, máy kéo, mô tô.
Gọi \(v\) (km/h) là tốc độ lưu thông của các phương tiện đó khi đi trên đoạn đường có một trong hai biển báo trên. Hãy dùng các bất đẳng thức để mô tả điều kiện của \(v\) theo quy định để thể hiện trên mỗi biển báo.
Có bao nhiêu dạng hệ thức biểu diễn một bất đẳng thức?
Cho \(\Delta ABC\), khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Xác định vế trái của bất đẳng thức \({a^2} + 1 > 0\)
Khẳng định nào sau đây đúng?
Bất đẳng thức mô tả tình huống: “Để được điều khiển xe máy điện thì số tuổi x của một người phải ít nhất là 16 tuổi”.
Cho hình vẽ, coi a, b, c là khối lượng của các vật nặng. Khi đó, ta biểu diễn:
Dùng các dấu >, <, \( \ge ,\)\( \le \) để diễn tả:
a) Giá bán thấp nhất T của một chiếc điện thoại là 6 triệu đồng.
b) Điểm trung bình tối thiểu G để đạt học lực giỏi là 8.
c) Thời gian tối đa t để hoàn thành một dự án là 12 tháng.
Theo Tổng cục Môi trường, chỉ số chất lượng không khí được tính theo theo thang điểm (khoảng giá trị AQI) tương ứng với biểu tượng và màu sắc để cảnh báo chất lượng không khí và mức độ ảnh hưởng tới sức khoẻ con người, cụ thể như sau:
Bảng 2:
Chỉ số AQI tại Hà Nội, Thái Nguyên, Hưng Yên, Sơn La ghi nhận vào sáng ngày 09.01.2023 lần lượt là: 338; 406; 312,9; 78 (Nguồn Tạp chí điện tử Môi trường và Cuộc sống). Dựa vào Bảng 2, cho biết chất lượng không khí vào sáng 09.01.2023 tại Hà Nội, Thái Nguyên, Hưng Yên, Sơn La ở mức nào trong các mức sau: Tốt, Trung bình, Kém, Xấu, Rất xấu, Nguy hại.
Một cửa hàng nhập về 60 chiếc điện thoại từ nước ngoài với giá nhập vào là 20 triệu đồng/chiếc. Thuế và phí vận chuyển của 60 chiếc điện thoại đó lần lượt là 36 triệu đồng và 20 triệu đồng. Khi về Việt Nam, cửa hàng đó đã bán mỗi chiếc điện thoại với giá bán bằng 125% giá nhập vào. Nhận định “Sau khi bán hết 60 chiếc điện thoại đó, cửa hàng đã lãi hơn 250 triệu đồng" là đúng hay sai? Vì sao
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn \(\frac{{AB.BC + AD.DC}}{2}.\)
Khi đi trên tuyến cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung Lương, chúng ta thấy biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà ô tô được phép đi trong điều kiện bình thường. Hãy viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép của ô tô
a) Ở làn ngoài cùng bên trái và ở làn giữa;
b) Ở làn ngoài cùng bên phải.
Viết bất đẳng thức để mô tả tình huông sau:
a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội.
b) Một thang máy chở được tối đa 700kg.
c) Bạn phải mua hàng có tổng giá trị ít nhất 1 triệu đồng mới được giảm giá.
d) Bạn phải ném vào rổ ít nhất 5 quả bóng mới vào được đội tuyển bóng rổ.
Theo Luật Giao thông đường bộ năm 2008, người lái xe tham gia giao thông phải đủ độ tuổi, sức khỏe theo quy định, có giấy phép lái xe phù hợp.
- Người đủ 27 tuổi trở lên được lái xe ô tô chở người trên 30 chỗ ngồi
- Tuổi tối đa của người lái xe ô tô chở người trên 30 chỗ ngồi là 50 tuổi đối với nữ và 55 tuổi đối với nam.
Gọi t là tuổi của người lái xe ô tô chở người trên 30 chỗ, biết người lái xe đó là nam. Khi đó một bất đẳng thức thức phù hợp với luật giao thông đường bộ năm 2008 là
A. \(t \ge 27\).
B. \(t \le 55\).
C. \(t \ge 27\) và \(t \le 55\).
D. \(t > 27\).
