Tìm \(m\) để tam thức \(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + m - 12\) không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \le 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)
Hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + m - 12 \le 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\) (*)
Mà \(a = - 1 < 0\) nên
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( {m - 12} \right) \le 0 \Leftrightarrow 4m - 44 \le 0 \Leftrightarrow m \le 11\)
Vậy \(m \le 11\) thì tam thức đó không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2\) tùy theo các khoảng của x.
b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 3\) tùy theo các khoảng của x.
c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) với dấu của hệ số tùy theo các khoảng của x trong trường hợp \(\Delta > 0\).
a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 1\)
b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 4\)
c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) với dấu của hệ số a trong trường hợp \(\Delta = 0\).
a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2\)
b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 5\)
c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) với dấu của hệ số a trong trường hợp \(\Delta < 0\).
Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai: \(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 8\)
Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 4x - 5\)
b) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\)
Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) với đồ thị được cho ở mỗi Hình 224a, 24b, 24c.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) \({x^2} - 2x - 3 > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
b) \({x^2} - 2x - 3 < 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\)
Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1\)
b) \(f\left( x \right) = 9{x^2} + 6x + 1\)
c) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 10\)
d) \(f\left( x \right) = - 5{x^2} + 2x + 3\)
e) \(f\left( x \right) = - 4{x^2} + 8x - 4\)
g) \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 3x - 1\)
Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:
50 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.
a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x.
b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng.
Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất
\(Q\) sản phẩm là \({Q^2} + 180Q + 140000\)(nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra
thị trường là 1 200 nghìn đồng.
a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết \(Q\) sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.
b) Xí nghiệp sản xuất bao nhiều sản phẩm thì hoà vốn?
c) Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?
Lập bảng xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x - 1\)
b) \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 12\)
c) \(f\left( x \right) = 16{x^2} + 24x + 9\)
Cho tam thức \(f(x) = {x^2} - 8x + 16\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
A. \({x^2} - x - 2 > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \({x^2} - x - 2 \le 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\)
C. \({x^2} - x - 2 < 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - 1;2} \right)\)
D. \({x^2} - x - 2 \ge 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị ở Hình 15.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
A. \(f\left( x \right) < 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( {1;3} \right)\)
B. \(f\left( x \right) \le 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
C. \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( {1;3} \right)\)
D. \(f\left( x \right) \ge 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left[ {1;3} \right]\)
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?
A. \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a < 0\) và \(\Delta \le 0\)
B. \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a < 0\) và \(\Delta < 0\)
C. \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a > 0\) và \(\Delta < 0\)
D. \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a > 0\) và \(\Delta \le 0\)
Lập bảng xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 7x + 4\)
b) \(f\left( x \right) = 25{x^2} + 10x + 1\)
c) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 8\)
d) \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x + 3\)
e) \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x - 3\)
g) \(f\left( x \right) = - 5{x^2} + 2x - 4\)
Với giá trị nào của tham số \(m\) thì hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3m - 2} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?
Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 6m - 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất \(Q\) sản phẩm là \({Q^2} + 200Q + 180.000\) (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 300 nghìn đồng.
a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết \(Q\) sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.
b) Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để không bị lỗ? Biết rằng các sản phẩm được sản xuất ra đều bán hết.
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) \( - 3{x^2} + x - \sqrt 2 \)
b) \({x^2} + 8x + 16\)
c) \( - 2{x^2} + 7x - 3\)
Nêu nội dung thay vào các ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp
Trường hợp a>0
Trường hợp a<0
Cho đồ thị hàm số \(y = g(x) = - 2{x^3} + x + 3\) như Hình 6.18.
a) Xét trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right),\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox.
b) Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
Cho hàm số bậc hai \(y = f(x) = {x^2} - 4x + 3\).
a) Xác định hệ số a. Tính \(f(0);f(1);f(2);f(3);f(4)\) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.
b) Cho đồ thị hàm số y=f(x) (H.6.17). Xét từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right);\left( {1;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)\), đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục Ox?
c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 \({m^2}\), hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích \(S(x) = - 2{x^2} + 20x\) với 48.
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) \(3{x^2} - 4x + 1\)
b) \({x^2} + 2x + 1\)
c) \( - {x^2} + 3x - 2\)
d) \( - {x^2} + x - 1\)
Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\):
\({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3\)
Xét dấu tam thức bậc hai \(h\left( x \right) = - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu.
Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)
b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\)
Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:
+) Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức \(\Delta \)
+) Các khoảng giá trị của \(x\)mà trên đó \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\)
