Đề bài

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 2t'\end{array} \right.\)

b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Phương pháp giải

Viết các vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\vec a'\) của \(d\) và \(d'\).

Trường hợp hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec a'\) cùng phương, lấy một điểm \(M\) thuộc \(d\). Nếu điểm đó không nằm trên \(d'\) thì hai đường thẳng đó song song với nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó trùng nhau.

Trường hợp hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec a'\) không cùng phương, lấy một điểm \(M\) thuộc \(d\) và một điểm \(M'\) thuộc \(d'\), sau đó tính tích hỗn hợp \(\left[ {\vec a,\vec a} \right].\overrightarrow {MM'} \). Nếu tích hỗn hợp đó bằng \(0\), hai đường thẳng đó cắt nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó chéo nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;1} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;4;2} \right)\).

Do \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) cùng phương, suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M\left( {1; - 1; - 2} \right)\) thuộc \(d\).

Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2 + 2t'\) ta có \(1 = 2 + 2t' \Rightarrow t' = - \frac{1}{2}\).

Thay \(y = - 1\) và \(t' = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(y = 3 + 4t'\), ta thấy phương trình không thoả mãn, do \(3 + 4.\frac{{ - 1}}{2} = 1 \ne - 1\).

Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;5;1} \right)\).

Do \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{5}\), nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) không cùng phương. Suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lấy điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) thuộc \(d\) và \(M'\left( {2;1;1} \right)\) thuộc \(d'\).

Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( { - 8;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = \left( { - 8} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right) = - 15 \ne 0.\)

Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

Xem thêm : SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right),\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?