Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 2t'\end{array} \right.\)
b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}\).
Viết các vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\vec a'\) của \(d\) và \(d'\).
Trường hợp hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec a'\) cùng phương, lấy một điểm \(M\) thuộc \(d\). Nếu điểm đó không nằm trên \(d'\) thì hai đường thẳng đó song song với nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó trùng nhau.
Trường hợp hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec a'\) không cùng phương, lấy một điểm \(M\) thuộc \(d\) và một điểm \(M'\) thuộc \(d'\), sau đó tính tích hỗn hợp \(\left[ {\vec a,\vec a} \right].\overrightarrow {MM'} \). Nếu tích hỗn hợp đó bằng \(0\), hai đường thẳng đó cắt nhau; ngược lại, hai đường thẳng đó chéo nhau.
a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;4;2} \right)\).
Do \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) cùng phương, suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm \(M\left( {1; - 1; - 2} \right)\) thuộc \(d\).
Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2 + 2t'\) ta có \(1 = 2 + 2t' \Rightarrow t' = - \frac{1}{2}\).
Thay \(y = - 1\) và \(t' = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(y = 3 + 4t'\), ta thấy phương trình không thoả mãn, do \(3 + 4.\frac{{ - 1}}{2} = 1 \ne - 1\).
Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).
b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;5;1} \right)\).
Do \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{5}\), nên \(\vec a\) và \(\vec a'\) không cùng phương. Suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
Lấy điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) thuộc \(d\) và \(M'\left( {2;1;1} \right)\) thuộc \(d'\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( { - 8;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = \left( { - 8} \right).1 + 1.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right) = - 15 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Các bài tập cùng chuyên đề
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right),\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = s\\y = 1 + 2s\\z = 3s\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau;
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau;
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);
d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:
\({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).
a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\).
a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2s\\y = 2 + s\\z = 1 + 3s\end{array} \right.\).
Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {t_1}\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = {t_2}\\z = 0\end{array} \right.\).
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 11 - 6t\\y = - 6 - 3t\\z = 10 + 3t\end{array} \right.\) (t là tham số);
b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 15}}{{ - 3}}\);
c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{z}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\).
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}\);
b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}\);
c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z + 13}}{7}\).
Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\), \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 7 + 4t'\\z = 2 + 6t'\end{array} \right.\); \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t''\\y = 3 + 4t''\\z = 4 + 6t''\end{array} \right.\).
a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của \(d\), \(d'\) và \(d''.\)
b) Xét điểm \(M\left( {4;1;1} \right)\) nằm trên \(d\). Điểm \(M\) có nằm trên \(d'\) hoặc \(d''\) không?
c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'\), \(d\) và \(d''\)?
Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 4t\\y = 3 - 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}.\)
b) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}.\)
Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - t\end{array} \right.\); \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 2 + t'\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\) và \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t''\\y = - 2 + t''\\z = 3 + 3t''\end{array} \right.\)
a) Đường thẳng \(d'\) và đường thẳng \(d''\) có song song hay trùng với đường thẳng \(d\) không?
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.\) (ẩn \(t\) và \(t'\)).
Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'.\)
c) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t = - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.\) (ẩn \(t\) và \(t''\)).
Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d''.\)
Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}.\)
b) \(d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}.\)
Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng \(d\) trên trụ cầu và đường thẳng \(d'\) trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 50 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = t'\\z = 50\end{array} \right.\).
Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'.\)
Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 7 + 4t'\\z = 9t'\end{array} \right.\).
a) Tìm vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt của \(d\) và \(d'.\)
b) Tính tích vô hướng \(\vec a.\vec a'\). Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng \(d\) và \(d'?\)
Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = t\\z = - 6 + 2t\end{array} \right.\).
b) \(d:\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\) và \(d':\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}.\)
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn sứng trong không gian \(Oxyz\). Cho biết trục \(d\) của nòng súng và cọc đỡ bia \(d'\) có phương trình lần lượt là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'\), chúng có vuông góc với nhau không?
Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian \(Oxyz\), cho biết phương trình trục \(a\) của mũi khoan và một đường rãnh \(b\) trên vật cần khoan (hình dưới đây) lần lượt là \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.\).
a) Chứng minh \(a\), \(b\) vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm toạ độ giao điểm của \(a\) và \(b\).
Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với \(d\)?
A. \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t'\\y = 1 + t'\\z = 5t'\end{array} \right.\)
B. \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.\)
C. \({d_3}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\)
D. \({d_4}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 7}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 7}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 - 3t\\y = - 10 - 4t\\z = 3 + 7t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số);
b) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 1 - t\\z = 3t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{4} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 6}}\);
c) \({\Delta _1}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 5}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 6}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{6}\).
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 - 3{t_1}\\y = - 5 + 4{t_1}\\z = m{t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 5{t_2}\\y = 2 + 3{t_2}\\z = 2{t_2}\end{array} \right.\), với \(m\) là tham số thực; \({t_1},{t_2}\) là tham số của phương trình đường thẳng. Tìm \(m\) để hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 2}}{9} = \frac{{y - 1}}{{27}} = \frac{{z - 3}}{{ - 27}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 7}}{3}\);
b) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 6}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{7} = \frac{{y + 9}}{5} = \frac{{z + 15}}{8}\);
c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{3} = \frac{{z + 3}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 17}}{2} = \frac{{y - 33}}{{ - 3}} = \frac{{z + 16}}{2}\).
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4{t_1}\\y = 9 + {t_1}\\z = 1 - 6{t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 3{t_2}\\y = 1 - 18{t_2}\\z = - 5 - {t_2}\end{array} \right.\) (\({t_1},{t_2}\) là tham số). Chứng minh rằng \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 1t\\y = 2 + t\\z = - 3 + 2t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\).
Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) và \(\Delta ':\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 3}}\).
Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là
A. chéo nhau.
B. cắt nhau.
C. song song.
D. trùng nhau.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 7 + 6t'\\z = - 1 - 2t'\end{array} \right.\);
b) \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}\) và \(d':\frac{x}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}\);
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\).
b) \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 7\end{array} \right.\);
Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1 cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm \(t\) (tính bằng phút), kiến vàng ở vị trí \((6 + t;8 - t;3 + t)\) trên đường thẳng \({d_1}\). Cùng thời điểm đó, kiến đen ở vị trí
\((1 + t;2 + t;2t)\) trên đường thẳng \({d_2}\).
a) Chứng minh rằng hai chú kiến bò trên hai đường thẳng chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm \(t = 0\) và \(t = 10\).
c) Hỏi tại thời điểm nào thì khoảng cách giữa hai chú kiến là nhỏ nhất? Tính khoảng cách đó.
Trong không gian, cho hai đường thẳng a và a' lần lượt là giá của hai vectơ (khác \(\overrightarrow 0 \)) \(\vec a\) và \(\vec a'\) (Hình 5.21). Từ một điểm A bất kỳ, vẽ hai đường thẳng d và d' lần lượt song song với a và a'.
a) Hỏi a và a' có phải lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d' không? Vì sao?
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau không? Vì sao?
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 5 + 3t'}\\{z = 3 - 6t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R}){\rm{ }}\)
b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)
c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 + 3t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R}){\rm{ }}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}{\rm{ }}\)
