Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho . Đường thẳng qua A vuông góc với Ox cắt Ot tại M. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (M; MA).
+ Theo đề bài, ta có Ox vuông góc với MA tại A nên Ox là tiếp tuyến của (M) tại A.
+ Chứng minh nên .
+ Suy ra OB vuông góc với Oy tại B. Suy ra OB là tiếp tuyến của (M).
(H.5.30)
Theo đề bài, ta có Ox vuông góc với MA tại A nên Ox là tiếp tuyến của (M) tại A.
Do Ot là tia phân giác của góc xOy và nên .
Hai tam giác OMA và OMB có: cạnh OM chung; ; .
Do đó .
Suy ra , tức là OB vuông góc với MB tại B.
Do vậy OB là tiếp tuyến của (M) (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho . Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm khi
Cho đoạn thẳng OH và đường thẳng a vuông góc với OH tại H.
a) Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng a.
b) Nếu vẽ đường tròn (O; OH) thì đường tròn này và đường thẳng a có vị trí tương đối như thế nào?
Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm và hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn (I; 3cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.
Cho đường thẳng a và điểm M không thuộc a. Hãy vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với a.
Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên một đường thẳng khi đường tròn (hình ảnh của đồng xu) và đường thẳng ấy cắt nhau.
Bằng cách xét vị trí của tâm đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường thẳng song song cạnh nhau (cách đều hoặc không cách đều hai đường thẳng đó), hãy chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.
Cho điểm M ở bên ngoài một đường tròn tâm O. Hãy dùng thước và compa thực hiện các bước vẽ hình như sau:
- Vẽ đường tròn đường kính MO cắt đường tròn (O) tại A và B;
- Vẽ và chứng tỏ các đường thẳng MA và MB là hai tiếp tuyến của (O).
Cho đường tròn (O) đi qua ba đỉnh A, B và C của một tam giác cân tại A, Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của (O).
Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại M. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (M; MA).
Cho tam giác vuông ABC (A vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng:
a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C; CA).
b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (B; BA).
Cho điểm A nằm trên đường tròn (O; R), đường thẳng d đi qua A và vuông góc với OA. Gọi M là một điểm trên d (M khác A).
a) Giải thích tại sao ta có OA = R và OM > R.
b) Giải thích tại sao d và (O) không thể có điểm chung nào khác ngoài A.
Cho tam giác ABC có đường cao AH (Hình 8). Tìm tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) tại H.
Một diễn viên xiếc đi xe đạp trên một sợi dây cáp căng (Hình 9). Ta coi sợi dây là tiếp tuyến của mỗi bánh xe, xác định các tiếp điểm.
Trong Hình 16, AB = 9; BC = 12; AC = 15 và BC là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R. Gọi I là trung điểm dây AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:
a) có số đo bằng 90o, từ đó suy ra độ dài của BC theo R;
b) OM là tia phân giác của .
c) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Cho đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn . Gọi là hình chiếu của tâm trên đường thẳng (Hình 33).
a) So sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính .
b) Điểm có thuộc đường tròn hay không?
c) Điểm có phải là tiếp điểm của đường thẳng và đường tròn hay không?
d) Đường thẳng có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?
Cho ba điểm thẳng hàng, trong đó nằm giữa và . Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng tại điểm . Chứng minh: .
Cho đường thẳng và đường tròn thỏa mãn đường thẳng đi qua điểm thuộc đường tròn và .
a) So sánh khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và bán kính .
b) Giả sử là điểm thuộc đường thẳng và khác . So sánh và . Điểm có thuộc đường tròn hay không?
c) Đường thẳng có phải là tiếp tuyến của đường tròn hay không?
Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài nhau tại điểm . Gọi là tiếp tuyến của tại điểm . Chứng minh là tiếp tuyến của .
Cho hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm sao cho đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn . Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn .
Cho đường tròn và dây . Điểm nằm ngoài đường tròn thỏa mãn điểm nằm trong góc và . Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn .
Trong Hình 5.35, cạnh mỗi hình vuông trong lưới ô vuông có độ dài là 1 đơn vị. Chứng minh rằng đường thẳng AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm B, bán kính BA.
Trên mặt phẳng tọa độ, vẽ đường tròn tâm I(2; 3) đi qua gốc tọa độ O. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tại O.
Cho A là một điểm thuộc đường tròn (O), M là một điểm thuộc tiếp tuyến của (O) tại điểm A (M khác A). Đường tròn tâm M bán kính MA cắt (O) tại B (B khác A). Chứng minh rằng MB là một tiếp tuyến của (O).
Trong Hình 5.40, mặt cắt của Trái Đất có thể xem là đường tròn tâm O bán kính . Từ điểm A nằm ở độ cao h so với mực nước biển, một người có thể thấy xa nhất đến điểm B trên (O) sao cho AB là tiếp tuyến (O). Khoảng cách AB khi đó được gọi là tầm nhìn xa từ điểm A. Tính AB nếu .
“Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và … thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là
Cho . Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn , khi đó
Cho . Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn , khi đó
Cho tam giác có . Vẽ đường tròn . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác có . Vẽ đường tròn . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác cân tại ; đường cao và cắt nhau tại . Khi đó đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .