Cho bảng gồm 2 015 x 2015 ô vuông nhỏ (Hình 9).
Điền vào mỗi ô của hàng số 1 hoặc số -1.
Bên trái mỗi dòng thứ i ghi tích các số của dòng đó và đặt là xi . Dưới mỗi cột thứ j ghi tích các số của cột đó và đặt là yj .
(i = 1;2;3;…2 015 và j = 1;2;3;…; 2 015)
Chứng tỏ rằng tổng của 4030 số xi; yj nhận được khác 0
Ta giả sử tổng của 4030 số xi; yj nhận được = 0. Ta sẽ đi chứng minh điều giả sử này là sai
Giả sử tổng của 4030 số xi; yj nhận được = 0
Ta có: x1 + x2 +…+ x2015 + y1 + y2 +…+y2015 =0; xi, yj đều bằng 1 hoặc -1. Do vậy, số vị trí nhận giá trị 1 bằng số vị trí nhận giá trị -1. Ta được, trong 4030 số xi; yj thì có 2015 số bằng 1 và 2015 số bằng -1.
Tích x1x2….x2015.y1.y2…y2015 = -1 (*)
Mà x1x2….x2015 = y1.y2…y2015 (đều là tích các số trong bảng) nên x1x2….x2015.y1.y2…y2015 = (x1x2….x2015)2 =1 (mâu thuẫn với (*))
Vậy tổng của 4030 số xi; yj là khác 0
Các bài tập cùng chuyên đề
Tính một cách hợp lí:
a) 4. (1 930 + 2019) + 4.(-2019);
b) (-3).(-17) + 3. (120 - 17).
Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí:
a) (-8). 72 +8. (-19) - (-8);
b) (-27). 1011 - 27- (-12) + 27.(-1).
a) 15.(-236) + 15.235;
b) 237. (-28) + 28. 137;
c) 38. (27 - 44) - 27.(38 - 44).
Tính giá trị của biểu thức P = (-35). x - (-15) - 37 trong mỗi trường hợp sau:
a) x = 15; b) x = -37.
Tính một cách hợp lí:
a) 17.[29 - (-111)] + 29.(-17);
b) 19.43 + (-20).43 - (-40).
Tính a(b + c) và ab + ac khi a = -2, b = 14, c = -4.
1. a) Tính giá trị của tích P = 3. (-4) . 5. (-6);
b) Tích P sẽ thay đổi thế nào nếu ta đối dấu tất cả các thừa số?
2. Tính 4. (-39) - 4 .(-14).
Thực hiện các phép tính rồi so sánh kết quả tương ứng ở hai cột màu xanh và màu đỏ.
Thực hiện các phép tính rồi so sánh kết quả tương ứng ở hai cột màu xanh và màu đỏ.
a) P là tích của 8 số nguyên khác 0 trong đó có đúng 4 số dương. Q là tích của 6 số nguyên khác 0 trong đó có duy nhất một số dương. Hãy cho biết P và Q là số dương hay số âm.
b) Tích của một số lẻ các số nguyên âm có dấu gì?
c) Tích của một số chẵn các số nguyên âm có dấu gì?
Thực hiện các phép tính rồi so sánh kết quả tương ứng ở hai cột màu xanh và màu đỏ.
Thực hiện phép tính: \(\left( { - 2} \right).29 + \left( { - 2} \right).\left( { - 99} \right)\)\( + \left( { - 2} \right).\left( { - 30} \right)\)
Tính một cách hợp lí:
a) (- 16) . (- 7) . 5;
b) 11 . (- 12) + 11 . (- 18);
c) 87 . (- 19) – 37 . (- 19);
d) 41 . 81 . (- 451) . 0
Chọn từ “âm”, “dương” thích hợp cho “?”
a) Tích ba số nguyên âm là một số nguyên “?”
b) Tích hai số nguyên âm với một số nguyên dương là một số nguyên “?”
c) Tích của một số chẵn các số nguyên âm là một số nguyên “?”
d) Tích của một số lẻ các số nguyên âm là một số nguyên “?”
Tính và so sánh kết quả:
a) (- 4) . 7 và 7 . (- 4);
b) [(- 3) . 4] . (- 5) và (- 3) . [4 . (- 5)];
c) (- 4) . 1 và - 4;
d) (- 4) . (7 + 3) và (- 4) . 7 + 7 . (- 4) . 3.
Tính một cách hợp lí:
a) (- 6) . (- 3) . (- 5)
b) 41 . 81 – 41 . (- 19).
Tìm số nguyên x, biết:
a) 9. (x + 28) = 0;
b) (27 – x). (x + 9) = 0;
c) (-x). (x – 43) = 0.
Tính một cách hợp lí:
a) (29 – 9). (-9) + (-13 – 7). 21;
b) (-157). (127 – 316) – 127. (316 – 157).
Tính giá trị của biểu thức; tìm cách tính hợp lí:
a) 21. 23 – 3. 7. (-17);
b) 42. 3 – 7. [(-34) + 18].
Tính giá trị của biểu thức; tìm cách tính hợp lí:
a) 71. 64 + 32. (-7) – 13. 32;
b) 13. (23 – 17) – 13. (23 + 17).
Tính theo hai cách:
a) 18 . 15 – 3. 6 . 10;
b) 63 – 9 . (12 + 7);
c) 39 . (29 -13) – 29 . (39 - 13).
Chọn số thích hợp cho [?]
Tính một cách hợp lí:
a) (-16) . (-9) . 5
b) (-15) . 999
c) (-25) . 144 . (-4)
d) (-125) . 2 020 . (-8)
e) (- 2 021) . (-15) + (-15) . 2 020
g) 121 . (-63) + 63 . (-53) – 63 . 26
So sánh hai biểu thức sau mà không tính cụ thể giá trị của chúng:
a) (-2 021) . 2 021 và (- 2 020) . 2 022
b) (8 765 – 5 678) . [ 5 678 – 9 765 + (-12)] và 4 342.
Cho hai số nguyên x, y (\(x \ne 0, y \ne 0 , x > y, x \ne -y \))
Gọi m = x2. y2 . (x – y) . (x +y)4. Hỏi m là số nguyên dương hay số nguyên âm?
Thực hiện phép tính:
a) (-56) : 7
b) (-132) . (-98) :11
c) [900 + (- 1 140) + 720] : (-120)
d) [299 . (-74) + (-299) . (-24)] : (-50)
e) 6. (-42 ). (-102) :24
g) [(-9).(-9).(-9)+93] : 810
Tìm số nguyên x biết:
a) (-300) : 20 + 5. (3x – 1) = 25
b) (5.13)x = 25. (53 + 4.11)2 : (34 – 35 : 33 +97) (x \( \ge \) 0)
c) (x -5). (3x -6) = 0
d) (2x + 1)2 . (x – 6) > 0
e) (x +1). (x – 4) < 0
Một tích nhiều thừa số sẽ mang dấu dương hay dấu âm nếu trong tích đó có:
a) Ba thừa số mang dấu âm, các thừa số khác mang dấu dương?
b) Bốn thừa số mang dấu âm, các thừa số khác mang dấu dương?
Tính một cách hợp lí:
a) 4. (1 930 + 2 019) + 4. (-2019);
b) (-3). (-17) + 3. (120 – 7).
Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí:
a) (-8).72 + 8. (-19) – (-8);
b) (-27). 1 011 – 27. (-12) + 27. (-1).
