Trên bảng có bộ ba số 2,6,9. Cứ sau mỗi phút, người ta thay đồng thời mỗi số trên bảng bằng tổng của hai số còn lại thì được bộ ba số mới. Nếu cứ làm như vậy, sau 30 phút thì hiệu của số lớn nhất và số bé nhất trong bộ ba số trên bảng bằng bao nhiêu?

Theo bài ra ta có bộ ba số lần lượt là:

+) Ban đầu: \(2, 6, 9\), khi đó \(H_0 = 9 - 2 = 7\)

+) 1 phút sau: \(15, 11, 8\), khi đó \(H_1 = 15 - 8 = 7\)

+) 2 phút sau: \(19, 23, 26\), khi đó \(H_2 = 26 - 19 = 7\)

+) 3 phút sau: \(49, 45, 42\), khi đó \(H_3 = 49 - 42 = 7\)

Ta thấy hiệu của số lớn nhất và số bé nhất (H) luôn bằng 7 sau mỗi lần thay.

Tuy nhiên để bài toán chặt chẽ hơn, ta sẽ chứng minh sau 30 phút thì hiệu của số lớn nhất và số bé nhất trong bộ ba số trên bảng bằng 7 qua bài toán tổng quát sau:

Gọi 3 số là a,b,c (a > b > c) thì tổng của 2 trong 3 số là a+b; a+c; b+c.

Vì a > b > c nên a+b > a+c > b+c

Hiệu giữa 2 tổng trong 3 tổng trên chính bằng hiệu của 2 số trong 3 số:

(a+b) – (a+c) = b – c

(a+b) – (b+c) = a – c

(a+c) – (b+c) = a – b

Cứ sau mỗi phút, người ta thay đồng thời mỗi số trên bảng bằng tổng của hai số còn lại thì được bộ ba số mới. Nếu cứ làm như vậy, sau 30 phút thì hiệu của số lớn nhất và số bé nhất trong bộ ba số trên bảng bằng 9 – 2 = 7.