Cho hình thang \(ABCD\) có đáy lớn \(AB\) và \(AB = 2CD\), hình chiếu song song của \(ABCD\) là tứ giác \(A'B'C'D'\). Chứng minh rằng \(A'B'C'D'\) cũng là một hình thang và \(A'B' = 2C'D'\).
Sử dụng tính chất của phép chiếu song song:
‒ Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
‒ Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
\(ABCD\) là hình thang có đáy lớn \(AB \Rightarrow AB\parallel CD\).
Vì hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, mà hình chiếu song song của \(ABCD\) là tứ giác \(A'B'C'D'\) nên \(A'B'\parallel C'D'\). Vậy \(A'B'C'D'\) cũng là một hình thang.
Vì phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, mà \(AB = 2CD,AB\parallel CD\) và \(A'B'\parallel C'D'\) nên \(A'B' = 2C'D'\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).
Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình chiếu O’ của điểm O có nằm trên đoạn A’C’ hay không?
b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau?
c) Hình chiếu O’ của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A’C’ hay không?
Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?
a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.
c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.
d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.
Nếu tam giác A’B’C’ là hình chiếu của tam giác ABC qua một phép chiếu song song thì tam giác ABC có phải là hình chiếu của tam giác A’B’C’ qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.
Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác ABC thành trọng tâm của tam giác A’B’C’.
Trong hình bên, AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Hãy giải thích tại sao AB song song với CD.
Cho mặt phẳng (P), hình bình hành ABCD và đường thẳng l cắt mặt phẳng (P). Xác định hình chiếu song song của hình bình hành ABCD trên mặt phẳng (P) theo phương l biết rằng mặt phẳng (ABCD) không song song với l.
Hình 79 mô tả bóng nắng của chiếc thanh gỗ trên bức tường, tức là hình chiếu của chiếc thanh đó qua phép chiếu song song lên bức tường. Các thanh gỗ ngang gợi nên hình ảnh các đường thẳng song song với nhau.
Quan sát Hình 79 và cho biết bóng của các đường thẳng song song đó có là các đường thẳng song song hay không.
Hình 78 mô tả bóng nắng của một lan can cầu đường bộ trên mặt đường, tức là hình chiếu của lan can qua phép chiếu song song lên mặt đường. Thanh lan can gợi nên hình ảnh đường thẳng nối các điểm A, B, C, ở đó B nằm giữa A và C. Gọi các điểm A’, B’, C’ lần lượt là bóng nắng của các điểm A, B, C trên mặt đường.
Quan sát Hình 78 và cho biết:
a) Các điểm A’, B’, C’ có thẳng hàng hay không. Nếu có, điểm B’ có nằm giữa hai điểm A’ và C’ hay không’
b) Bóng nắng của thanh lan can là hình gì.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D. Xác định ảnh của tam giác A’C’D’qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương A’B.
Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm \(BC\) và hình chiếu song song của tam giác \(ABC\) là tam giác \(A'B'C'\). Chứng minh rằng hình chiếu \(M'\) của \(M\) là trung điểm của \(B'C'\) và hình chiếu \(G'\) của \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\).
Trong Hình 5, xét phép chiếu theo phương \(l\) với mặt phẳng chiếu \(\left( P \right)\). Biết \(a\parallel b\) với \(a \subset \left( Q \right)\) và \(b \subset \left( R \right)\). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của hình chiếu \(a',b'\) của \(a,b\) trong hai trường hợp: \(\left( Q \right)\parallel \left( R \right);\left( Q \right) \equiv \left( R \right)\).
Trong Hình 4, xét phép chiếu theo phương \(l\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa đường thẳng \(a\) và song song với phương chiếu.
a) Khi điểm \(M\) thay đổi trên đường thẳng \(a\) thì ảnh \(M'\) của nó thay đổi ở đâu?
b) Từ đó hãy chỉ ra ảnh của đường thẳng \(a\) qua phép chiếu theo phương \(l\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó;
b) Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó;
c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau;
d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(CD\). Xác định ảnh của tứ diện \(ABCD\) qua phép chiếu song song có phương chiếu là đường thẳng \(MN\), mặt phẳng chiếu là mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bất kì cắt đường thẳng \(MN\).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho \(MB = 2MC.\)
a) Xác định hình chiếu M’ của M qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A’B’C’) theo phương AA’.
b) Chứng minh rằng \(M'B' = 2M'C'\)
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi O’ là hình chiếu của O qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A’B’C’D’) theo phương AA’. Chứng minh rằng O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và (P) là mặt phẳng cố định không song song với MN. Gọi A’, B’, C’, D’, M’, N’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, M, N qua phép chiếu lên mặt phẳng (P) theo phương MN.
a) Chứng minh rằng hai điểm M’ và N’ trùng nhau.
b) Chứng minh rằng bốn điểm A’, B’, C’, D’ là bốn đỉnh của một hình bình hành.
Ba chiếc gậy được đặt dựa vào tường và đôi một song song với nhau (H.4.32). Giải thích vì sao nếu ba đầu gậy trên tường thẳng hàng thì ba đầu gậy trên sàn cũng thẳng hàng.
Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'.$
Hình chiếu của tam giác $ACB$ trên mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ theo phương $CC'$ là
Cho các đường thẳng không song song với phương chiếu. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trong không gian, mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
