Xét một điểm M trên cạnh huyền của tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB và AC.
a) Hỏi tứ giác MPAN là hình gì?
b) Hỏi M ở vị trí nào thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất? Vì sao?
a) Xét tứ giác APMN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
b) Sử dụng tính chất của hình chữ nhật.
a) Tứ giác MPAN có: \(\widehat {NAP} = \widehat {APM} = \widehat {MNA} = {90^o}\)
Do đó tứ giác MPAN là hình chữ nhật.
b) Vì tứ giác MPAN là hình chữ nhật có hai đường chéo AM và NP nên AM = NP.
Để đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất thì AM có độ dài ngắn nhất.
Khi đó, MA là đường vuông góc kẻ từ A đến đoạn thẳng BC hay AM là đường cao của tam giác ABC.
Mà tam giác ABC vuông cân tại A nên AM cũng là đường trung tuyến.
Do đó M là trung điểm của BC.
Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng BC thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống ME và từ M xuống AB. (H.3.60)
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật
b) BK và NE cùng bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và AB (dù M thay đổi trên đường thẳng MC miễn là B nằm giữa M và C)
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật và \(AM = \dfrac{1}{2}BC\).
Cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm trên cạnh CD sao cho \(\widehat {A{\rm{E}}B} = {78^o};\widehat {EBC} = {39^o}\). Tính số đo của \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {E{\rm{A}}B}\).
Hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Hãy tìm độ dài thích hợp cho các ô \(?\) trong bảng dưới đây:
Xét một điểm M trên cạnh huyền của tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB và AC.
a) Hỏi tứ giác MPAN là hình gì?
b) Hỏi M ở vị trí nào thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất? Vì sao?
Cho tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi D, E lần lượt là điểm sao cho M là trung điểm của HD, N là trung điểm của HE.
a) Chứng minh AHBD, AHCE, BCED là những hình chữ nhật.
b) Tại sao giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH?
c) Giải thích tại sao \(DH = HE,BE = CD\).
