Tính toán lượng chất tan và dung môi để pha chế dung dịch có nồng độ phần trăm cho trước

Ta cần tính số gam đường cát và số gam nước tinh khiết cần thiết để tạo ra n = 1000 (ml) dung dịch có nồng độ a%. Biết rằng khối lượng riêng của đường cát là d = 1,1 (g/ml) và 1 lít nước tinh khiết nặng 1kg.

a) Gọi x (gam) và y (gam) lần lượt là lượng đường cát và nước cất cần pha chế. Lập biểu thức tính thể tích và nồng độ dung dịch để chứng minh x, y thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{1,1}} + y = 1000\\\frac{x}{{x + y}}.100 = a\end{array} \right.\)

b) Biến đổi hệ phương trình trên về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 1,1y = 1100\\\left( {100 - a} \right)x - ay = 0\end{array} \right.\)

Từ đó chứng tỏ \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình này là

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1100a}}{{110 - 0,1a}}\\y = \frac{{1100\left( {100 - a} \right)}}{{110 - 0,1a}}\end{array} \right.\)

c) Áp dụng: Tính lượng nước và đường cát tương ứng để pha n = 1000 ml nước đường với nồng độ là a = 63%.

Gọi x (gam) và y (gam) lần lượt là lượng đường cát và nước cất cần pha chế

Thể tích của x gam đường cát là \(\frac{x}{{1,1}}\) (ml)

Thể tích của y gam nước cất là y (ml)

Thể tích của dung dịch gồm x gam đường cát và y gam nước cất là \(\frac{x}{{1,1}} + y = 1000\left( 1 \right)\) (ml)

Khối lượng dung dịch là \(x + y\) (gam)

Dung dịch có nồng độ a% nên ta có: \(\frac{x}{{x + y}}.100 = a\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có x và y là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{1,1}} + y = 1000\\\frac{x}{{x + y}}.100 = a\end{array} \right.\)

b) Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 1,1 ta được \(x + 1,1y = 1100\left( 3 \right)\)

Từ (2) ta có \(\frac{{100x}}{{x + y}} = a\) hay \(100x = a\left( {x + y} \right)\) nên \(x\left( {100 - a} \right) - ay = 0\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 1,1y = 1100\\\left( {100 - a} \right)x - ay = 0\end{array} \right.\)

Từ phương trình (3) ta có \(x = 1100 - 1,1y\) thay vào phương trình (4) ta được \(\left( {100 - a} \right)\left( {1100 - 1,1y} \right) - ay = 0\) hay \(1100\left( {100 - a} \right) - 1,1y\left( {100 - a} \right) - ay = 0\) suy ra \(y\left( {1,1.\left( {100 - a} \right) + a} \right) = 1100\left( {100 - a} \right)\) nên \(y\left( {1100 - 0,1a} \right) = 1100\left( {100 - a} \right)\) do đó \(y = \frac{{1100\left( {100 - a} \right)}}{{1100 - 0,1a}}\)

Mà \(x = 1100 - 1,1y = 1100 - 1,1.\frac{{1100\left( {100 - a} \right)}}{{110 - 0,1a}} = 1100 - \frac{{1210\left( {100 - a} \right)}}{{110 - 0,1a}}\)

\( = \frac{{121000 - 110a - 121000 + 1210a}}{{110 - 0,1a}} = \frac{{1100a}}{{110 - 0,1a}}\)

Nên \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình này là

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1100a}}{{110 - 0,1a}}\\y = \frac{{1100\left( {100 - a} \right)}}{{110 - 0,1a}}\end{array} \right.\)

c) Với a = 63% ta có

 \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1100.63}}{{110 - 0,1.63}}\\y = \frac{{1100\left( {100 - 63} \right)}}{{110 - 0,1.63}}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \approx 668,3\\y \approx 392,5\end{array} \right.\)

Vậy cần khoảng 668,3 gam đường cát và 392,5 gam nước cất.