Xét bài toán cổ trong tình huống mở đầu. Gọi x là số cam, y là số quýt cần tính \(\left( {x;y \in {\mathbb{N}^*}} \right),\) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 17\\10x + 3y = 100\end{array} \right.\)
Trong hai cặp số \(\left( {10;7} \right)\) và \(\left( {7;10} \right),\) cặp số nào là nghiệm của hệ phương trỉnh trên? Từ đó cho biết phương án về số cam và số quýt thỏa mãn yêu cầu của bài toán cổ.
Để giải bài toán, ta cần tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho. Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là nghiệm của hệ phương trình khi nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ.
Thay \(\left( {10;7} \right)\) vào hệ đã cho ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}10 + 7 = 17\\10.10 + 3.7 = 121 \ne 100\end{array} \right.\)
Nên \(\left( {10;7} \right)\) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Thay \(\left( {7;10} \right)\) vào hệ đã cho ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}7 + 10 = 17\\10.7 + 3.10 = 100\end{array} \right.\)
Nên \(\left( {7;10} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Vậy số quả cam là 7 quả, số quả quýt là 10 quả.
Các bài tập cùng chuyên đề
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9\end{array} \right.\) nhận cặp số nào sau đây là nghiệm
Trong hai cặp số \(\left( {0; - 2} \right)\) và \(\left( {2; - 1} \right),\) cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 4\\4x + 3y = 5\end{array} \right.?\)
Cho hệ phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5y = 10}\\{2x - y = - 13.}\end{array}} \right.\)
Trong hai cặp số (0;2) và (-5;3), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?
Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - y = 2}\\{x + 3y = 7.}\end{array}} \right.\)
Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình đã cho?
a) (2;2)
b) (1;2)
c) (-1;-2).
Cặp số (-2;-3) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 2y = 0}\\{x - 3y = 5}\end{array}} \right.\)
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y = - 2\\x + y = 6\end{array} \right.\).
Kiểm tra xem cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình đã cho:
a. \(\left( {3;3} \right)\);
b. \(\left( {4;2} \right)\).
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\3x - 2y = 3\,\,.\end{array} \right.\)
Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?
a. \(\left( {3; - 1} \right)\);
b. \(\left( {1;0} \right)\).
Xét hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 45\\3x + y = 105.\end{array} \right.\)
Trong hai cặp số \(\left( {25;20} \right)\) và \(\left( {30;15} \right)\), cặp số nào là một nghiệm của phương trình \(x + y = 45\), đồng thời là một nghiệm của phương trình \(3x + y = 105\)?
Giải thích vì sao hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\2x - 2y = 3\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Cho hai phương trình \(x + y = 2\) (1) và \(x - y = 0\) (2). Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và (2)?
Trong các cặp số \(\left( {1;-1} \right),\left( {1;-2} \right),\left( {-3;-7} \right),\left( { 3;-7} \right)\), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2\\5x + 2y = 1\end{array} \right.\)?
Với \(m = 1\) thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3mx + y = 0\\x - 5my = - 4\end{array} \right.\) nhận cặp số nào là nghiệm?
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 20\\\left( {4 - 2m} \right)x + y = 10\end{array} \right.\). Tìm m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y = 7\\ - x - 3y = 21\end{array} \right.\) nhận cặp số nào sau đây là nghiệm
Cặp số \(\left( { - 2; - 3} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
Cặp số \(\left( {3; - 5} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
Cho các cặp số sau (0;-1),\((\sqrt{3};2-\sqrt{3})\),\((1;\sqrt{3}-3)\),\((\sqrt{3}+1;1)\). Cặp số nào không là nghiệm của phương trình \((\sqrt{3}-1)x-y=1\)?
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - mx + y = - 2m\\x + {m^2}y = 9\end{array} \right..\) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hệ phương trình nhận cặp \(\left( {1;2} \right)\) làm nghiệm.
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 2} \right)x + y = 2m - 8\\{m^2}x + 2y = - 3\end{array} \right..\) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hệ phương trình nhận cặp số \(\left( { - 1;3} \right)\) làm nghiệm.
Tìm giá trị của a và b để đường thẳng (d1): \((3a-1)x+2by=56\) và đường thẳng (d2): \(0,5ax-(3b+2)y=3\) cắt nhau tại điểm M(2;-5).
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx - 2y = 3m\\2x - my = - 4 - 4m\end{array}. \right.\) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để cặp số \(\left( { - 1;2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3mx + y = - 2m\\ - 3x - my = - 1 + 3m\end{array} \right..\) Xác định các giá trị của tham số \(m\) để hệ phương trình vô số nghiệm.
Bằng cách tìm giao điểm của hai đường thẳng $d: - 2x + y = 3$ và $d':x + y = 5$ ta tìm được nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\x + y = 5\end{array} \right.$ là $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Tính ${y_0} - {x_0}$.
Bằng cách tìm giao điểm của hai đường thẳng $d:4x + 2y = - 5$ và $d':2x - y = - 1$ ta tìm được nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = - 5\\2x - y = - 1\end{array} \right.$ là $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Tính ${x_0}.{y_0}$.
Cho hai phương trình \( - 3x + y = - 7\;\left( 1 \right)\) và \(x - 2y = 4\;\left( 2 \right)\). Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và phương trình (2)?
A. \(\left( {0; - 7} \right)\).
B. \(\left( {6;1} \right)\).
C. \(\left( {2; - 1} \right)\).
D. \(\left( { - 1; - 10} \right)\).
Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y = 7}\\{ - x - 4y = - 9}\end{array}} \right.\)
Trong các cặp số (3;2), (1;2), (5;1), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?
Đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm (2; -1) và (-4; -3). Khi đó
A. \(a = 1;b = - 3\).
B. \(a = \frac{1}{2};b = - 2\).
C. \(a = \frac{1}{3};b = - \frac{5}{3}\).
D. \(a = 0;b = - 3\).
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - {m^2}y = 5\\mx + 5y = 2\end{array} \right.\) nhận (3; 1) là nghiệm?
A. Không có giá trị nào của m thỏa mãn.
B. \(m = 2\).
C. \(m = - 2\).
D. \(m = - 1\).
Hình bên dưới minh họa tập nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + y = 3\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x + y = 3\end{array} \right.\).
Cặp số (3;-1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 2y = 4}\\{2x - y = 5}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 7}\\{x - 2y = 5}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 2y = 5}\\{x + 3y = 0}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 2y = 5}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.\)
