Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 1\) có đồ thị (C):
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 là: \(y = 2x + 3\) hoặc \(y = 2x - 3\)
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(({d_1})\) : \(y = - \frac{1}{6}x + 1\) là \(y = 6x - \frac{{25}}{2}\) hoặc \(y = 6x + \frac{{25}}{3}\)
c) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_2})\):\(y = 2020\)là y = 1 hoặc \(y = \frac{5}{6}\)
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_3}):4x + y - 5 = 0\)là \(y = - 4x - 2\)
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 là: \(y = 2x + 3\) hoặc \(y = 2x - 3\)
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(({d_1})\) : \(y = - \frac{1}{6}x + 1\) là \(y = 6x - \frac{{25}}{2}\) hoặc \(y = 6x + \frac{{25}}{3}\)
c) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_2})\):\(y = 2020\)là y = 1 hoặc \(y = \frac{5}{6}\)
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_3}):4x + y - 5 = 0\)là \(y = - 4x - 2\)
Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x0) = k
Bước 2: Giải phương trình f'(x0) = k với ẩn là x0.
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x0) + f(x0).
Ta có\(y' = f'(x) = {x^2} - x\)
- a) Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2
\( \Rightarrow f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow x_0^2 - {x_0} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\)
* Với \({x_0} = 2\) ta có \({y_0} = f(0) = \frac{1}{3}{.2^3} - \frac{1}{2}{.2^2} + 1 = \frac{5}{3} \Rightarrow {M_1}(2;\frac{5}{3})\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \({M_1}(2;\frac{5}{3})\) là \(y = 2(x - 2) + \frac{5}{3}\,\,hay\,\,y = 2x - \frac{7}{3}\)
* Với \({x_0} = - 1\)ta có \({y_0} = f( - 1) = \frac{1}{6} \Rightarrow {M_2}( - 1;\frac{1}{6})\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \({M_2}( - 1;\frac{1}{6})\) là \(y = 2(x + 1) + \frac{1}{6}\,\,hay\,\,y = 2x + \frac{{13}}{6}\)
- b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)
Do tiếp tuyến vuông góc với \((d):y = - \frac{1}{6}x + 1\) nên \( - \frac{1}{6}k = - 1 \Leftrightarrow k = 6\)
Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\)mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.
\(f'({x_0}) = 6 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)
* Với \({x_0} = 3\) ta có \({y_0} = f(3) = \frac{{11}}{2} \Rightarrow {M_1}(3;\frac{{11}}{2}) \in (C)\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_1}(3;\frac{{11}}{2}\)) là \(y = 6(x - 3) + \frac{{11}}{2}\,\,hay\,\,y = 6x - \frac{{25}}{2}\)
* Với \({x_0} = - 2\) ta có \({y_0} = f( - 2) = - \frac{{11}}{3} \Rightarrow {M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3}) \in (C)\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3})\) là \(y = 6(x + 2) - \frac{{11}}{3}\,\,hay\,\,y = 6x + \frac{{25}}{3}\)
- c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).
Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc là 0
⇒ k = 0
Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\)mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0
\( \Rightarrow f'({x_0}) = 0 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 1\end{array} \right.\)
* Với \({x_0} = 0\)ta có \({y_0} = f(0) = 1 \Rightarrow {M_1}(0;1) \in (C)\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_1}(0;1)\)là y = 1.
* Với \({x_0} = 1\)ta có \({y_0} = f(1) = \frac{5}{6} \Rightarrow {M_2}(1;\frac{5}{6}) \in (C)\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_2}(1;\frac{5}{6})\) là \(y = \frac{5}{6}\)
d)\(({d_3}):4x + y - 5 = 0\) hay \(({d_3}):y = - 4x + 5\)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).
Do tiếp tuyến song song với \(({d_3}):y = - 4x + 5\)với hệ số góc là – 4
Nên k = -4
\( \Rightarrow f'({x_0}) = - 4 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = - 4 \Rightarrow \)PT vô nghiệm
Suy ra không tổn tại tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài
Các bài tập cùng chuyên đề
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{12}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}}\).
Chọn đáp án đúng:
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = {t^2} + 2t\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t = 3s\)bằng.
Cho hàm số \(y = 2\sin x - 3\cos x + 3\)có đạo hàm\(y' = a\cos x + b\sin x + c\).Khi đó \(S = 2a + b - c\) có kết quả bằng:
Hàm số \(y = \sqrt {2 + 2{x^2}} \)có đạo hàm \(y' = \frac{{a + bx}}{{\sqrt {2 + 2{x^2}} }}\). Khi đó \(S = a - 2b\) có kết quả bằng
Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu xanh bằng:
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right).\)Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên tập số thực. Tìm hệ thức đúng
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(SA = SC\). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Khi đó, góc giữa SH và MP bằng bao nhiêu độ?:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = x. Tìm x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 60°
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng với chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy?
Cho hàm số: \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|\).
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình\(s\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - {t^3} + \frac{5}{2}{t^2} + 10t\), trong đó \(t > 0\) với \(t\) tính bằng giây (s) và \(s\) tính bằng mét (m). Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất.
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để chọn được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho 10.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B.\) Biết \(AD = 2a,\,AB = BC = SA = a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy, gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) theo \(a.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
