Cho miếng giấy hình tam giác \(ABC\). Cắt tam giác này dọc theo ba đường trung bình của nó ta thu được 4 tam giác mới, gọi số tam giác có được là \({T_1}\). Chọn 1 trong 4 tam giác được tạo thành và cắt nó theo ba đường trung bình, số tam giác vừa nhận được do việc cắt \({T_1}\) là \({T_2}\)… Lặp lại quá trình này ta nhận được một dãy vô hạn các tam giác \({T_1},{T_2},{T_3},...,{T_n},...\) Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\).
-
A.
301.
-
B.
\({4.3^{99}}\).
-
C.
15250.
-
D.
\(\frac{{4\left( {{3^{100}} - 1} \right)}}{{99}}\).
Sử dụng định lí: Giả sử \({u_n}\) là một cấp số công sai \(d\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).
Ở lần cắt đầu tiên có \({T_1} = 4\) tam giác.
Ở lần cắt thứ hai có \({T_1} - 1\) tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ hai có \({T_2} = \left( {{T_1} - 1} \right) + 4 = {T_1} + 3\) tam giác.
Ở lần cắt thứ ba có \({T_2} - 1\) tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ ba có \({T_3} = \left( {{T_2} - 1} \right) + 4 = {T_2} + 3\) tam giác.
…
Ở lần cắt thứ \(n\) có \({T_{n - 1}} - 1\) tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ \(n\) có \({T_n} = \left( {{T_{n - 1}} - 1} \right) + 4 = {T_{n - 1}} + 3\) tam giác.
Vậy dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({T_1} = 4\) và công sai \(d = 3\).
Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\) là:
\({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2{T_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{100\left[ {2.4 + 99.3} \right]}}{2} = 15250\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là một cấp số cộng:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 2\) và \({u_2} = 3\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào không phải là một cấp số cộng:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 5,d = 3\). Chọn đáp án đúng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = - 3\). Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 5,d = 3\). Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(d = - 2\) và \({S_8} = 72\), khi đó số hạng đầu tiên là bao nhiêu?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có: \({u_1} = - 1,d = 2,{S_n} = 483\). Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng?
Cho cấp số cộng có \({u_4} = - 12,{u_{14}} = 18\). Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là:
Tìm công sai của cấp số cộng có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 14\\{S_{12}} = 129\end{array} \right.\)
Tìm công sai của cấp số cộng sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_4} - {u_6} = - 7\\{u_8} - {u_7} = 2{u_4}\end{array} \right.\)
Xen giữa các số 2 và 22 ba số nào sau đây để được một cấp số cộng có 5 số hạng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}{u_7} = 75\end{array} \right.\). Chọn đáp án đúng.
Tìm công sai của cấp số cộng sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 8\\{u_2}^2 + {u_4}^2 = 16\end{array} \right.\), biết công sai không lớn hơn 2.
Ông Sơn trồng cây trên một mãnh đất hình tam giác theo quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,…, ở hàng thứ \(n\) có \(n\) cây. Biết rằng ông đã trồng hết 11325 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
Cho cấp số cộng:\({u_1};{u_2};{u_3};....\) có công sai \(d\). Biết \({u_2} + {u_{22}} = 40.\) Tính \({S_{23}}\).
Cho một cấp số cộng \({u_1} = 1\), tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính \(S = \frac{1}{{{u_1}.{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}.{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}\).
