Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.8 trên 12 phiếu

Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Đề bài

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\tan x>x\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)                                          

b) \(\tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số \(y\left( x \right)\) với 0.

+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số \(y\left( x \right)\) và khảo sát hàm số \(y\left( x \right)\)  trên các khoảng đề bài đã cho.

+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết

a) \(\tan x>x\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)

Xét hàm số: \(y=f\left( x \right)=\tan x-x\) với \(x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right).\)

Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1=\frac{1-{{\cos }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}={{\tan }^{2}}x>0\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

  Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right).\)

\(\Rightarrow \forall \ x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \text{ta có}  \, f\left( x \right)>f\left( 0 \right) \\ \Leftrightarrow \tan x-x>\tan 0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x\ \ \left( dpcm \right).\)

b) \(\tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)

Xét hàm số: \(y=g\left( x \right)=\tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}\) với \(x\in \left( 0;\ \frac{\pi }{2} \right).\)

Ta có: \(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{\tan }^{2}}x-1-{{x}^{2}}\\ ={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right).\)

Với \(\forall \ x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \tan x>0\) nên ta có: \(\tan x+x>0\)  và \(\tan x-x>0\) (theo câu a) \(\Rightarrow y'>0\,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)

Vậy hàm số \(y=g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right).\)

\(\Leftrightarrow \tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}>\tan 0-0-0 \\ \Leftrightarrow \tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}>0 \\ \Leftrightarrow \tan x>x+\frac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \ \left( dpcm \right).\)


loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan