Bài 5 trang 10 sách sgk giải tích 12

Bình chọn:
4.8 trên 12 phiếu

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(tanx > x\) \((0 < x < \frac{\pi }{2})\);  

b) \(tanx > x + \frac{x^{3}}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\).

Giải:

a) Xét hàm số \(y = f(x) = tanx – x\) với \(x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\).

Ta có : \(y’\) = \(\frac{1}{cos^{2}x} - 1 ≥ 0\), \(x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\); \(y’ = 0 ⇔ x = 0\). Vậy hàm số luôn đồng biến trên \((0 ; \frac{\pi }{2})\).

Từ đó \(∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\) thì \(f(x) > f(0)\)

\(⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0\) hay \(tanx > x\).

b) Xét hàm số \(y = g(x) = tanx – x\) - \(\frac{x^{3}}{3}\). với \(x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\).

Ta có : \(y’ = \frac{1}{cos^{2}x} - 1 -x^2\)=\(1 + {\tan ^2}x - 1 - {x^2} = (ta{n^2}x - {x^2})\)

                                     = \((tanx - x)(tanx + x)\),  \(∀x ∈ (0 ;\frac{\pi }{2} )\).

Vì \(∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\) nên \(tanx +x ≥ 0\) và \(tanx - x >0\) (theo câu a).

Do đó \(y' ≥ 0, ∀x ∈ (0 ;\frac{\pi }{2})\).

         Dễ thấy \(y' = 0 ⇔ x = 0\). Vậy hàm số luôn đồng biến trên (0 ; \(\frac{\pi }{2}\)). Từ đó : \(∀x ∈ (0 ; \frac{\pi }{2})\) thì \(g(x) > g(0) \)\(⇔ tanx – x - \frac{x^{3}}{3}\) \(> tan0 - 0 - 0 = 0\) hay \( tanx > x + \frac{x^{3}}{3}\).

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan