Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.7 trên 38 phiếu

Giải bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a)  \(y=\frac{3x+1}{1-x}\) ;                           b) \(y=\frac{x^{2}-2x}{1-x}\) ;

c) \(y=\sqrt{x^{2}-x-20}\) ;              d) \(y=\frac{2x}{x^{2}-9}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Tìm tập xác định của hàm số.

+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (I =1,2,3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

+) Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. (nếu y’ > 0 thì hàm số đồng biến, nếu y’ < 0 thì hàm số nghịch biến)

Ở bài toán này cần chú ý các tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) \(y=\frac{3x+1}{1-x}=\frac{3x+1}{-x+1}\)        

Tập xác định: \(D=R\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Có: \(y'=\frac{3.1-(-1).1}{{{\left( -x+1 \right)}^{2}}}=\frac{4}{{{\left( -x+1 \right)}^{2}}}>0\ \forall \ x\in D.\)

Bảng biến thiên:

 

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó là: \(\left( -\infty ;\ 1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right).\)

Chú ý cách tính giới hạn để điền vào BBT: \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=-3;\ \ \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=-\infty ;\ \ \ \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=+\infty \)              

b) \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}.\)

Tập xác định: \(D=R\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Có:

 \(\begin{align}& y'=\frac{\left( 2x-2 \right)\left( 1-x \right)+{{x}^{2}}-2x}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=\frac{-{{x}^{2}}+2x-2}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=\frac{-\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=\frac{-\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)-1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}} \\ & =\frac{-{{\left( x-1 \right)}^{2}}-1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-1-\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}<0\ \forall x\in D. \\ \end{align}\)

Bảng biến thiên:

 

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: \(\left( -\infty ;\ 1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right).\)           

Chú ý: cách tính giới hạn để điền vào bảng biến thiên:

\(\begin{align}& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=-\infty ;\ \ \ \ \ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=+\infty \  \\ & \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=+\infty ;\ \ \ \ \ \ \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=-\infty  \\ \end{align}\)

c) \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}\)                     

Có \({{x}^{2}}-x-20\ge 0\Leftrightarrow \left( x+4 \right)\left( x-5 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\le -4 \\ & x\ge 5 \\ \end{align} \right..\)

Tập xác định: \(D=\left( -\infty ;-4 \right]\cup \left[ 5;+\infty  \right).\)

Có \(y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên:

               

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;-4 \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( 5;+\infty  \right).\)           

Chú ý: cách tính giới hạn để điền vào BBT:

\(\begin{align}  & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty ;\ \ \ \ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty  \\  & \underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0;\ \ \ \ \ \ \ \underset{x\to {{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0.\  \\ \end{align}\)

d) \(y=\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}.\)

Có \({{x}^{2}}-9\ne 0\Leftrightarrow x\ne \pm 3.\)

Tập xác định:  \(D=R\backslash \left\{ \pm 3 \right\}.\)                                                                     

Có: \(y'=\frac{2\left( {{x}^{2}}-9 \right)-2x.2x}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}=\frac{-2{{x}^{2}}-18}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}=\frac{-2\left( {{x}^{2}}+9 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}<0\ \forall \ x\in D.\)

Bảng biến thiên:

 

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là: \(\left( -\infty ;\ -3 \right);\ \left( -3;\ 3 \right)\) và \(\left( 3;\ +\infty  \right).\)

Chú ý: Cách tính giới hạn để điền vào BBT:

\(\begin{align}& \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0;\ \ \ \ \ \ \ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0 \\ & \underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+\infty ;\ \ \ \ \ \ \ \underset{x\to -{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=-\infty  \\ & \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+\infty ;\ \ \ \ \ \ \ \underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=-\infty . \\ \end{align}\)

 

 

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan