Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.5 trên 10 phiếu

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Bài 40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) \(3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);            

b) \({({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

c) \(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\);                             

d) \(\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3\)

Hướng dẫn: a) Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\), ta có phương trình \(3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của \(t\). Thay mỗi giá trị của \(t\) vừa tìm được vào đằng thức \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\) , ta được một phương trình của ẩn \(x\). Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của \(x\).

d) Đặt \(\frac{x+1}{x} = t\) hoặc \(\frac{x}{x+ 1} = t\)

Bài giải:

a) \(3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x\), ta có:

\(3{t^2}{\rm{  - }}2t{\rm{  - }}1 = 0;{t_1} = 1,{t_2} =  - {1 \over 3}\)

Với \({t_1} = 1\), ta có: \({x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\) hay \({\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0,\Delta {\rm{  = }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{  = }}5,{\rm{ }}\sqrt \Delta   = \sqrt 5 \)

\({x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\)

Với \({t_2}= -\frac{1}{3}\), ta có: \({x^2} + x =  - {1 \over 3}\)hay \(3{x^2} + 3x{\rm{  + }}1{\rm{  = }}0\):

Phương trình vô nghiệm, vì \(\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}\)

b) \({({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\), ta có phương trình \({t^2} + {\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Giải ra ta được \({t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 3\).

- Với \({t_1}= 2\) ta có: \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) hay \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Suy ra \({x_1} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4\).

- Với \({t_2}= -3\), ta có: \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3\) hay \({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

Phương trình này vô nghiệm vì \(\Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} = 0, {x_2}= 4\).

c) \(x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7\). Điều kiện: \(x ≥ 0\). Đặt \(t = \sqrt{x}, t ≥ 0\)

Ta có:\({t^2}-{\rm{ }}6t{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Suy ra: \({t_1}= -1\) (loại), \({t_2}= 7\)

Với \(t = 7\), ta có: \(\sqrt{x} = 7\). Suy ra \(x = 49\).

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: \(x = 49\)

d) \(\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3\). Điều kiện: \(x ≠ -1, x ≠ 0\)

Đặt \(\frac{x}{x+ 1}\) = t, ta có: \(\frac{x+1}{x}\) = \(\frac{1}{t}\). Vậy ta có phương trình: \(t - \frac{10}{t} – 3 = 0\)

hay: \({t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }}-{\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Suy ra \({t_1} = 5, {t_2} = -2\).

- Với \({t_1}= 5\), ta có \(\frac{x}{x+ 1} = 5\) hay \(x = 5x + 5\). Suy ra \(x = -\frac{5}{4}\)

-  Với \({t_2} = -2\), ta có \(\frac{x}{x+ 1}= -2\) hay \(x = -2x – 2\). Suy ra \(x = -\frac{2}{3}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1}= -\frac{5}{4}\), \({x_2} =-\frac{2}{3}\)  

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 9 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan