Bài 1 trang 82 sách đại số và giải tích 11


Bài 1. Chứng minh rằng

Bài 1. Chứng minh rằng với n ε N*, ta có đẳng thức:

a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = ;

b) ;

c) 12 + 22 + 32 +….+ n2 = .

Hướng dẫn giải:

a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng  = 2 

Vậy hệ thức a) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng  Sn.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là 

 Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = 

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =  

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 =  + 3k + 2

  (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ε N*

b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng , do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là 

Ta phải chứng minh .

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: 

                                        =  (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N*

c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng  = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức c) đúng với n = k  ≥ 1, tức là

Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2

Ta phải chứng minh 

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

Sk+1 = Sk + (k + 1)2 =                                                         = (k + 1).  = (k + 1)

         (đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ε N*    


>>>>> Bí kíp học tốt các môn lớp 11 2017 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu

 

Bài viết liên quan