Bài 2 trang 82 sgk toán 11


Bài 2. Chứng minh rằng

Bài 2. Chứng minh rằng với n ε  N*    ta luôn có:

a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3;

b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n3 + 11n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k)  3

Ta phải chứng minh rằng Sk+1  3

Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) 

                        = k3  + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5 

                         = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9

 hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk   3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3)  3 nên Sk+1  3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n)  3 với mọi n ε N*  .

b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1 

Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1   9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh Sk+1  9.

Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

                                    = 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)    

Theo giả thiết quy nạp thì  Sk   9  nên 4S1   9, mặt khác 9(5k - 2)   9, nên Sk+1  9

Vậy (4n + 15n - 1)  9 với mọi n ε N*  

c) Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1  6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S= k3 + 11k  6

Ta phải chứng minh Sk+1  6

Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) =  k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11           

                                  = ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4) 

THeo giả thiết quy nạp thì  Sk  6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4)  6, do đó Sk+1  6

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .

 

 

 


>>>>> Bí kíp học tốt các môn lớp 11 2017 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu

 

Bài viết liên quan