Bài 5 trang 83 sgk toán 11


Bài 5. Chứng minh rằng

Bài 5. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là

Hướng dẫn giải:Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ε  N,  n ≥ 4.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là:    = 2

Vậy khẳng định là đúng với n= 4.

Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có

số đường chéo là 

 Ta phải chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1. Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi k + 1cạnh có số đường chéo là 
Xét đa giác lồi k + 1 cạnh 
Nối A1  và   Ak, ta được đa giác k cạnh A1A2…Ak  có  đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối Ak+1 với các đỉnh A2, A3, …, Ak-1, ta được thêm k -2 đường chéo, ngoài ra A1Ak  cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

                   + k - 2 + 1 = 

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

>>>>> Bí kíp học tốt các môn lớp 11 2017 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu

 

Bài viết liên quan