Bài 3 trang 82 sgk toán 11


Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:

a) \(3^n> 3n + 1\);                  b) \(2^{n+1} > 2n + 3\)

Hướng dẫn giải:

a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)

 

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

                       \(3^k> 3k + 1\)         (1)

Nhân hai vế của (1) vơi \(3\), ta được:

                       \(3^{k+1} > 9k + 3 \Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\).

Vì \(6k - 1 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4\) 

hay \(3^{k+1} > 3(k + 1) + 1\).

tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Vậy \(3^n> 3n + 1\) với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

b) Với \(n = 2\) thì vế trái bằng \(8\), vế phải bằng \(7\). Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

          \(2^{k+1} > 2k + 3\)          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh

           \({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:

       \({2^{k + 2}} > 4k + 6 \Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\).

Vì \(2k + 1> 0\) nên \({2^{(k + 1)+1}}> 2k + 5=2(k+1)+3\)

Vậy \({2^{n+1}} > 2n + 3\) với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

loigiaihay.com

 

                        

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 11 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu