Bài 3 trang 82 sgk toán 11


Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1;                  b) 2n + 1 > 2n + 3

Hướng dẫn giải:

a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2

 

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

                       3k > 3k + 1

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:

                       3k + 1 > 9k + 3 <=> 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k - 1 > 0 nên 

                       3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là

                       2k + 1  > 2k + 3                                                         (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh

                       2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

                      2k + 2 > 4k + 6 <=> 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

 

                        

>>>>> Bí kíp học tốt các môn lớp 11 2017 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu

 

Bài viết liên quan