Bài 4 trang 24 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.5 trên 12 phiếu

Giải bài 4 trang 24 SGK Giải tích 12. Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

Đề bài

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) \(y = {4 \over {1 + {x^2}}}\);                   b) \(y = 4{x^3} - 3{x^4}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :

+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};......;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.

+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);........;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).

\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);.......;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)

Quy ước : Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số \(y=f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết

a) \(y=\frac{4}{1+{{x}^{2}}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=\frac{-2x.4}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{-8x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 8x=0\Leftrightarrow x=0.\)

\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{1+{{x}^{2}}}=0.\)

Ta có bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x=0;\ \ \underset{R}{\mathop{\max }}\,y=4.\)

b) \(y=4{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\)

\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 4{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} \right)=-\infty .\)

Ta có bảng biến thiên:

 

Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại \(x=1;\ \ \underset{R}{\mathop{\max }}\,y=1.\)

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan