Bài 1 trang 23 sgk giải tích 12

Bình chọn:
4.8 trên 23 phiếu

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 1. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

    a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\) ;

    b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\);

    c) \(y = {{2 - x} \over {1 - x}}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\);

    d) \(y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}\) trên đoạn \([-1;1]\).

Giải

a) Xét \(D = [-4; 4]\)

\(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} - 9;y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \in D \hfill \cr
x = - 1 \in D \hfill \cr} \right.\) 

Ta có: \(y(-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8\)

Vậy \(\eqalign{
& \mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = 40 \cr 
& \mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = - 41 \cr}\)

Xét \(D = [0; 5]\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \in D \hfill \cr
x = - 1 \notin D \hfill \cr} \right.\)

Ta có \(y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8\)

Vậy \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;5} \right]}  = 40;\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;5} \right]}  = 8\)

b) \(y' = 4{x^3} - 6x = 2x\left( {2{x^2} - 3} \right);y' = 0\left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x = \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr x = - \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.\)

- Với \(D = [0; 3]\) thì \(x =  - \sqrt {{3 \over 2}}  \notin D\) 

Ta có \(y\left( 0 \right) = 2;y\left( 3 \right) = 56;y\left( {\sqrt {{3 \over 2}} } \right) =  - {1 \over 4}\) 

Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;3} \right]}  =  - {1 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;3} \right]}  = 56\)

Với \(D = [2; 5]\) thì \(x = 0;x =  \pm \sqrt {{3 \over 2}}\) đều không thuộc \(D\) nên \(y(2) = 6; y(5) = 552\).

Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;5} \right]}  = 6;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;5} \right]}  = 552\) 

c)  \(y = {{x - 2} \over {x - 1}};y' = {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0;\forall x \ne 1\)

Với \(D = [2; 4]: y(2) = 0\); \(y\left( 4 \right) = {2 \over 3}\). Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = 0;\mathop {\max y}\limits_{\left[ {2;4} \right]}  = {2 \over 3}\) 

Với \(D = [-3; -2]\): \(y\left( { - 3} \right) = {5 \over 4};y\left( { - 2} \right) = {4 \over 3}\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} y = {5 \over 4};\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 3;2} \right]}  = {4 \over 3}\)

d)  

\(\eqalign{
& D = \left[ { - 1;1} \right]:y' = {{ - 2} \over {\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \cr
& y\left( { - 1} \right) = 3;y\left( 1 \right) = 1 \cr} \)

Vậy \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]}  = 1;\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]}  = 3\)

 loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan