Bài 14 trang 72 sgk toán lớp 9 tập 2


Bài 14 a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy

Bài 14 

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

Hướng dẫn giải:

a. Vì I là trung điểm của cung AB, suy ra cung IA = cung IB ⇒ IA = IB

Ta có: OA = OB = bán kính. Suy ra đường kính IK là đường trung trực của dây AB. Vậy HA = HB (đpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh: Vì ∆ AOB cân tại O và HA = HB nên OH là đường phân giác của góc AOB. Suy ra góc O1 = góc O2.

Từ đó suy ra cung IA =  cung IB

Tuy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây AB đi qua tâm O của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b. Ta có: cung IA =  cung IB (gt) ⇒ IA = IB

Điều này chứng tỏ rằng điểm I nằm trên đường trung trực của AB (1)

Ta có  OA = OB =  bán kính

Điều này chứng tỏ rằng điểm O nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) chứng tỏ rằng OI hay IK là đường trung trực của dây AB. Suy ra IK ⊥ AB.

* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Kẻ đường kính KOI vuông góc với AB.

Ta có OA = OB ⇒ ∆OAB cân tại O

Mà OH ⊥ Ab nên OM là đường phân giác của góc AOB ⇒ Góc O1 = góc O2

Ta có ∆OAI = ∆OBI )c.g.c). Do đó AI = IB. Suy ra cung AI = cung IB.

Vậy I là điểm chính giữa của cung AB

 

>>>>> Học tốt lớp 9 luyện thi vào 10 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa năm 2018 bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng học hiệu quả, dễ hiểu