Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4 trên 4 phiếu

Giải bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số  \(f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2.}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị \((C)\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f’’(x) = 0.\)

c) Biện luận theo tham số \(m\) số nghiệm của phương trình: \(x^4- 6x^2+ 3 = m.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.

b) Giải phương trình \(f''(x)=0\) để tìm \(x_0.\) Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) theo công thức: \(y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0).\)

c) Đưa phương trình về dạng: \({1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = \frac{m}{2}. \) Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số y = \(f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\)  \((C)\)

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(y’ = 2x^3- 6x  = 2x(x^2– 3)\)

\( \Rightarrow y’ = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right..\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-\sqrt3)\) và \((0;\sqrt3)\), đồng biến trên khoảng \((-\sqrt 3;0)\) và \((\sqrt3;+\infty)\).

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}={3\over 2}\)

    Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x=-\sqrt3\) và \(x=\sqrt3\); \(y_{CT}=y_(\pm\sqrt3)=-3\)

- Giới hạn:

   \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

b) Ta có: \(y’’ = 6x^2– 6\)

\( \Rightarrow y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6 = 0 ⇔ x^2 -1 =0 ⇔ x = ± 1.\)

Có \(y’(-1) = 4; \, \,  y’(1) = -4; \, \,  y(± 1) = -1\)

Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \((-1, -1)\) là : \(y = 4(x+1) – 1= 4x+3.\)

Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \((1, -1)\) là: \(y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3.\)

c) Ta có: \({x^4} - 6{x^2} + 3 = m \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}\) (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của \((C)\) và đường thẳng (d) : \(y = {m \over 2}\)

Từ đồ thị ta thấy:

\(\frac{m}{2}

\(\frac{m}{2}=-3 \Leftrightarrow m = -6\) : (1) có 2 nghiệm.

\(-3 < \frac{m}{2}<\frac{3}{2} \Leftrightarrow-6 < m < 3\): (1) có 4 nghiệm.

\(\frac{m}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = 3\): ( 1) có 3 nghiệm.

\(\frac{m}{2}> \frac{3}{2} \Leftrightarrow m > 3\): (1) có 2 nghiệm.

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan