Bài 2 trang 30 sách sgk giải tích 12

Bình chọn:
4.7 trên 12 phiếu

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

Bài 2. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

a) \(y=\frac{2-x}{9-x^2}\)

b) \(y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\)

c) \(y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\)

d) \(y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\)

Giải:

a)

\(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow (-3)^-}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow (-3)^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\)  nên đường thẳng: \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b)

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty \end{array}\)

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: \(x=-1;x=\frac{3}{5}\).

Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}\)

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-\frac{1}{5}\).

c)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ +}} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}})}{x(1+\frac{1}{x})}=-\infty\) và \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

d)

Hàm số xác định khi:  \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.\)

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\)( hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty\) ) nên đường thẳng \(x = 1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=1\) nên đường thẳng \(y = 1\) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan