Giải bài 7.7 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau.

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Kết nối tri thức (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) đến mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh rằng:

a)\(BC \bot \left( {OAH} \right)\);

b) \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\);

c) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lý sau

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng

một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

+ \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\b \subset \alpha \end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

a) Chứng minh \(OA \bot BC\), \(OH \bot BC\).

b) Chứng minh \(BC \bot AH\), \(CA \bot BH\) suy ra \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

c) + Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\),

+ Chứng minh \(OK\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\) và \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAK\).

+ Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(OBC\) và \(OAK\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\), suy ra. \(OA \bot BC\)

Vì \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên\(OH \bot BC\),suy ra\(BC \bot \left( {OAH} \right)\).

b) Vì \(BC \bot \left( {OAH} \right)\) nên \(BC \bot AH\).

Tương tự, \(CA \bot BH\), do đó \(H\) là trực tâm của tam giác\(ABC\).

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\),

Ta có: \(OK \bot BC\) và \(OA \bot OK\) nên \(OK\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\) và là đường cao của tam giác vuông \(OAK\).

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(OBC\) và\(OAK\), ta có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}\) và \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Từ đó suy ra: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 7.8 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC\) và \(DB = DC\). Chứng minh rằng \(AD \bot BC\).
Giải bài 7.9 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(AA'\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)
Giải bài 7.10 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) và \(SA = SC\), \(SB = SD\).
Giải bài 7.11 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) nhọn
Giải bài 7.12 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Một cấy cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi
Giải bài 7.6 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại\(B\).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.