Giải SBT toán hình học và đại số giải tích 11 cơ bản Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Bài 2.36 trang 79 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 2.36 trang 79 sách bài tập đại số và giải tích 11. Xác định hệ số của số hạng chứa x...

Đề bài

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng \(97\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:

\({\left( {a + b} \right)^n} \)

\(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \)

\(+ C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(a=x^2, b=-\dfrac{2}{x}\).

Tính tổng các hệ số của ba số hạng đầu đồng nhất với giá trị đề bài cho để tìm \(n\).

Sau đó thay \(n\) vào khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}\) sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số, sử dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: \(x^m.x^n=x^{m+n}\); \(\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\); \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}\) để thu gọn biểu thức.

Để tìm hệ số của \(x^4\) ta cho số mũ của \(x\) bằng \(4\), giải phương trình tìm \(k\) và tính hệ số của \(x^4\).

Lời giải chi tiết

Ta có \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} +\)

\(C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) +\)

\(C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...\)

Theo giả thiết, ta có:

\(\begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n =  - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 8.\)

Từ đó ta có: \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} \)

SHTQ: \(T_{k+1}= {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} }\)

\( = C_8^k.{x^{16 - 2k}}.\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^k}}} \) \(= C_8^k{x^{16 - 2k - k}}{\left( { - 2} \right)^k}\)

\(={{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \).

Số hạng chứa \(x^4\) ứng với \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4.\)

Do đó hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua