SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Cánh diều Bài 1. Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng..

Giải bài 13 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều


Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Cánh diều (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\). Tính:

a) \(A = \sin \alpha .\cos \alpha \)                                

b) \(B = \sin \alpha  - \cos \alpha \)

c) \(C = {\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha \)                                  

d) \(D = {\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

b) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) và điều kiện \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\) để xét dấu của \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \).

c) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \).

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) và kết quả ở câu a.

d) Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)  với \(A = {\sin ^2}\alpha \), \(B = {\cos ^2}\alpha \)

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) và kết quả ở câu a.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha .\cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Suy ra \(A = \sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{{{{\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 1}}{2} =  - \frac{4}{9}\)

b) Ta có \({B^2} = {\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  - 2\sin \alpha .\cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{4}{9}\) nên \({B^2} = 1 - 2\left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{17}}{9} \Rightarrow B =  \pm \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).

Do \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\) , ta suy ra \(\sin \alpha  < 0\), \(\cos \alpha  > 0\). Từ đó \(B = \sin \alpha  - \cos \alpha  < 0\).

Như vậy \(B =  - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\)

c) Ta có \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} = {\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha  + 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)\)

Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{4}{9}\) nên:

\(C = {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 4}}{9}.\frac{1}{3} = \frac{{13}}{{27}}\).

d) Ta có \({\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)

                                      \( = {\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)

Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{4}{9}\) nên:

\(D = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2{\left( { - \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua