Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài 1.28 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.28 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sin 2x + \cos 2x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} + {1^2} = 4 - 4\sqrt 3 + 3 + 1\\
= 8 - 4\sqrt 3 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\\
\Rightarrow y = 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \left[ {\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\sin 2x + \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\cos 2x} \right]\\
= 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha \) thỏa mãn 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\\
\sin \alpha = \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}
\end{array} \right.\)

Do đó \( - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 }  \le y \le 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \)

Vậy giá trị lớn nhất là \(2\sqrt {2 - \sqrt 3 } ,\) giá trị nhỏ nhất là  \( - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } .\)

LG b

\(y = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x \)

\(\begin{array}{l}
= {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}.2\sin x\cos x\\
= 1 - \sin 2x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x
\end{array}\)

\(= 1 + {1 \over 2}\sin 2x + 2\cos 2x.\)

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {17} }}\sin 2x + \frac{4}{{\sqrt {17} }}\cos 2x} \right)\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha\) thỏa mãn 

\({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\\
\sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {17} }}
\end{array} \right.}\)

Mà \( - 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\) nên \( - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
- \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le 1 + \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le y \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}
\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \(1 + {{\sqrt {17} } \over 2}\) và  \(1 - {{\sqrt {17} } \over 2}\).

LG c

\(y = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có 

\(\eqalign{
& y = \left( {\sin x - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1 \cr&= 2\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) - 3\sin x\cos x - 1 \cr 
& = - 1 - {3 \over 2}\sin 2x - 2\cos 2x \cr} \)

\( =  - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{5}{2}\left( {\frac{3}{5}\sin 2x + \frac{4}{5}\cos 2x} \right)\\
= \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha \) thỏa mãn \({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{5}\\
\sin \alpha = \frac{4}{5}
\end{array} \right.}\)

Mà

\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - 1 + \frac{5}{2} \ge - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right) \ge - 1 - \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} \ge y \ge - \frac{7}{2}
\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({3 \over 2}\) và \( - {7 \over 2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua