Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 9, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 9 Bài tập – Chủ đề 6: Hệ thức Vi - ét

Bài 8 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2


Giải bài tập Cho phương trình

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\) (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức \(M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)Để chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta chứng minh cho \(\Delta \left( {\Delta '} \right) > 0,\forall m\)

b) Biến đổi biểu thức M về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_1};{x_1}.{x_2}\)  sau đó thay hệ thức Viet \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) vào M ta rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó.

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} - 2mx + m - 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) \\\;\;\;\;\;= {m^2} - m + 2\\ \;\;\;\;\;= {m^2} - 2.\dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + 2\\\;\;\;\;\; = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0,\forall m\end{array}\)

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) nên áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 8{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8\left( {m - 2} \right)}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8m + 16}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{6}{{ - {m^2} + 2m - 4}}\end{array}\)

M đạt giá trị nhỏ nhất khi \( - {m^2} + 2m - 4\) đạt giá trị lớn nhất

Ta có: \( - {m^2} + 2m - 4 \)\(\,=  - \left( {{m^2} - 2m + 4} \right) \)\(\,=  - \left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 3} \right] \)\(\,=  - {\left( {m - 1} \right)^2} - 3 \le  - 3,\forall m\)

Khi đó ta có: \(M \ge \dfrac{6}{{ - 3}} =  - 2 \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2 khi m = 1.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K9 Tham Gia Group Giải Đề Thi Vào 10 Các Tỉnh

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua