SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài 4. Khoảng cách trong không gian - SBT Toán 11 CTST

Giải bài 7 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2


Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {57} }}{{12}}\). Tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\).

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Chân trời sáng tạo (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {57} }}{{12}}\). Tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M; (P)).

+ Sử dụng kiến thức về thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: \(V = S.h\)

Lời giải chi tiết

Vì ABC. A’B’C’ là lăng trụ đều \(A'A \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'A \bot BC\)

Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác ABC đều nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(AI \bot BC\)

Ta có: \(A'A \bot BC\), \(AI \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {A'AI} \right)\)

Trong mặt phẳng (A’AI), kẻ \(AH \bot A'I\left( {H \in A'I} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

Vì \(BC \bot AH,AH \bot A'I\) nên \(AH \bot \left( {A'BC} \right)\). Do đó, \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt {57} }}{{12}}\).

Tam giác ABC đều nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, tam giác ABI vuông tại I. Suy ra: \(AI = AB.\sin \widehat {ABC} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \(A'A \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'A \bot AI\)

Tam giác A’AI vuông tại A, AH là đường cao có:

\(\frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{{144}}{{57{a^2}}} - \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{68}}{{57{a^2}}} \\ \Rightarrow A'A = \frac{{a\sqrt {969} }}{{34}}\)

Thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là:  \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = A'A.\frac{1}{2}.AI.BC \\ = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt {969} }}{{34}}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{3{a^3}\sqrt {323} }}{{136}}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua