Giải bài 1 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2


Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh \(a\sqrt 2 \). Biết rằng \(SA = SB = SC = SD,SO = 2a\sqrt 2 \).

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Chân trời sáng tạo (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh \(a\sqrt 2 \). Biết rằng \(SA = SB = SC = SD,SO = 2a\sqrt 2 \).

a) Chứng minh rằng \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định lí đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha  \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình vuông tâm O nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.

Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SAC. Do đó, \(SO \bot AC\)

Vì \(SB = SD\) nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBD. Do đó, \(SO \bot BD\)

Vì \(SO \bot AC\), \(SO \bot BD\), AC và BD cắt nhau và nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Do đó, \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

b) Kẻ \(AH \bot SC\left( {H \in SC} \right)\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 2a\)

Suy ra: \(OC = \frac{{AC}}{2} = a\)

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right),OC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SOC vuông tại O có:

\(SC = \sqrt {O{C^2} + S{O^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 3a\)

Ta có: \(AH.SC = SO.AC\left( { = 2{S_{\Delta SAC}}} \right) \Rightarrow AH = \frac{{SO.AC}}{{SC}} = \frac{{2a\sqrt 2 .2a}}{{3a}} = \frac{{4a\sqrt 2 }}{3}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.