Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các ve..

Câu 7 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao


Giải bài tập Câu 7 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc AD’ và DB sao cho \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {M{\rm{D}}'} ,\overrightarrow {N{\rm{D}}}  = k\overrightarrow {NB} \left( {k \ne 0,k \ne 1} \right)\).

a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’BC).

b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD’ và DB

Lời giải chi tiết

 

a) Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow c \).

Khi đó, ta có:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow c  = \overrightarrow c .\overrightarrow a  = 0\).

và \({\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2}\).

Vì \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {M{\rm{D}}'} \) nên \(\overrightarrow {MA}  = k\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}'} } \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = {k \over {k - 1}}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right).\)

Tương tự như trên, ta có:

\(\overrightarrow {AN}  = {{\overrightarrow {A{\rm{D}}}  - k\overrightarrow {AB} } \over {1 - k}} =  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \).

Từ đó: \(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}   \cr  &  = {{1 + k} \over {1 - k}}\overrightarrow c  + {k \over {1 - k}}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) \cr} \)

hay \(\overrightarrow {MN}  = {{1 + k} \over {1 - k}}\overrightarrow {BC}  + {k \over {1 - k}}\overrightarrow {BA'} \).

Như vậy ba vectơ ­\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA'} \) đồng phẳng.

Mặt khác AD’, DB cắt mp(A’BCD’); các điểm M, N lần lượt thuộc AD’, DB với k ≠ 0, k ≠ 1 nên MN không thuộc mp(A’BC). Vậy MN song song với mp(A’BC).

b) Ta có \(\overrightarrow {A'C}  =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \); A’C, AD’ chéo nhau; A’C, BD chéo nhau mà \(M \in A{\rm{D}}',N \in DB\). Do đó, đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow {A'C} \) , tức là

\({k \over {1 - k}}\overrightarrow a  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b  + {{1 + k} \over {1 - k}}\overrightarrow c  =  - m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  + m\overrightarrow c \)

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) là ba vectơ không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi bà chỉ khi

\(\left\{ \matrix{  {k \over {1 - k}} =  - m \hfill \cr   - {k \over {1 - k}} = m \hfill \cr  {{1 + k} \over {1 - k}} = m \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra \( - k = 1 + k \Leftrightarrow k =  - {1 \over 2}\)

Vậy khi \(k =  - {1 \over 2}\)  thì MN song song với A’C.

Khi đó \(\overrightarrow {MN}  =  - {1 \over 3}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right)\)

Mặt khác \(\overrightarrow {A{\rm{D}}'}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

Vậy

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {A{\rm{D}}'}  =  - {1 \over 3}\left( {{{\overrightarrow a }^2} - {{\overrightarrow c }^2}} \right) = 0  \cr  & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {DB}  =  - {1 \over 3}\left( { - {{\overrightarrow b }^2} + {{\overrightarrow c }^2}} \right) = 0 \cr} \)

Điều này khẳng định MN vuông góc với AD’ và DB.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua