Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = x. Tìm x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 60°
-
A.
\(x = \frac{{3a}}{2}\)
-
B.
\(x = 2a\)
-
C.
\(x = \frac{a}{2}\)
-
D.
\(x = a\)
Đáp án : D
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Kẻ \(BH \bot SC \Rightarrow DH \bot SC\)(hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
\( \Rightarrow \left( {(SBC),(SCD)} \right) = \left( {BH,DH} \right) = {60^0}\)
Có hai trường hợp xảy ra:
TH1:
\(\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {30^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {30^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a\sqrt {\frac{3}{2}} \end{array}\)
Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {\frac{3}{2}} }}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow 3({x^2} + 2{a^2}) = {x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6{a^2} = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \)(không có đáp án nào thỏa mãn)
TH2:
\(\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {60^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {60^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\end{array}\)
Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{a}{{\sqrt 6 }}}}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow {x^2} + 2{a^2} = 3{x^2}\\ \Leftrightarrow x = a\end{array}\)
Đáp án D.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số: \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|\).
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình\(s\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - {t^3} + \frac{5}{2}{t^2} + 10t\), trong đó \(t > 0\) với \(t\) tính bằng giây (s) và \(s\) tính bằng mét (m). Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất.
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để chọn được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho 10.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B.\) Biết \(AD = 2a,\,AB = BC = SA = a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy, gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) theo \(a.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{12}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}}\).
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = {t^2} + 2t\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t = 3s\)bằng.
Cho hàm số \(y = 2\sin x - 3\cos x + 3\)có đạo hàm\(y' = a\cos x + b\sin x + c\).Khi đó \(S = 2a + b - c\) có kết quả bằng:
Hàm số \(y = \sqrt {2 + 2{x^2}} \)có đạo hàm \(y' = \frac{{a + bx}}{{\sqrt {2 + 2{x^2}} }}\). Khi đó \(S = a - 2b\) có kết quả bằng
Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu xanh bằng:
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right).\)Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên tập số thực. Tìm hệ thức đúng
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(SA = SC\). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng:
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Qua S kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Khi đó, góc giữa SH và MP bằng bao nhiêu độ?:
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng với chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy?
