Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC’ vuông góc với đáy và \(CC' = a\). Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BB’, BC.

a) Chứng minh rằng: \(AM \bot BC'\).

b) Gọi K là điểm trên đoạn A’B’ sao cho \(B'K = \frac{a}{4}\) và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh rằng: \(AM \bot MK\) và \(AM \bot KJ\).

a) Vì tam giác ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên \(AI \bot BC\).

Mặt khác, \(AI \bot CC'\left( {do\;CC' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) và BC và CC’ cắt nhau tại C và nằm trong mặt phẳng (BCC’B’) nên \(AI \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AI \bot BC'\)

Dễ dàng chứng minh được tứ giác BCC’B’ là hình vuông nên \(BC' \bot B'C\).

Vì M, I lần lượt là trung điểm của BB’, BC nên MI là đường trung bình của tam giác BB’C. Do đó, MI//B’C. Mà \(BC' \bot B'C\) nên \(MI \bot BC'\).

Lại có: \(AI \bot BC'\) và MI và AI cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (AIM).

Do đó, \(BC' \bot \left( {AIM} \right) \Rightarrow BC' \bot AM\).

b) Tam giác KMB’ vuông tại B’ nên \(\tan \widehat {KMB'} = \frac{{KB'}}{{MB'}} = \frac{1}{2}\)

Tam giác AMB vuông tại B nên \(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{BM}} = 2\)

Do đó, \(\tan \widehat {KMB'} = \cot \widehat {AMB} \Rightarrow \widehat {KMB'} + \widehat {AMB} = {90^0}\)

Suy ra, \(\widehat {AMK} = {90^0} \Rightarrow AM \bot MK\)

Mặt khác: \(AM \bot BC'\left( {cmt} \right),MJ//BC'\) (do MJ là đường trung bình của tam giác B’C’B)\( \Rightarrow AM \bot MJ\)

Mà \(AM \bot MK\). Do đó, \(AM \bot \left( {MKJ} \right) \Rightarrow AM \bot KJ\).