Đề giữa học kỳ 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Đào Sơn Tây – TP HCM

Tính đạo hàm, xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm.

$y' = \frac{4}{{{{(1 - x)}^2}}} > 0$, $\forall x \ne 1$. Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Tìm khoảng sao cho y' > 0.

$D = \mathbb{R} \setminus \{ 2\}$.

$y' = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - ({x^2} - 2x + 1)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}$.

$y' > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x < 1\\x > 3\end{array}$ \right..

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)$.

$y' = 3{x^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2 \in [ - 3;3]$.

Ta có: f(-3) = 15, f(-2) = 22, f(2) = -10, f(3) = 15.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-3; 3] là 22.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

$y' = 3{x^2} + 8x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = - 3\\x = \frac{1}{3}\end{array}$ \right..

Hệ số cao nhất của hàm số là 1 > 0, do đó hàm số đạt cực đại tại x = -3, giá trị cực đại là y(-3) = 22.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình f’(x) = 0.

$f'(x) = x{(x - 1)^2}{(x + 2)^4} = 0$ có 1 nghiệm bội lẻ là x = 0, do đó số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1.

Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty$.

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5 \Rightarrow y = 5$ là tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 3.

Tìm v(t) = s’(t) và tính v(4).

$v(t) = s'(t) = 9{t^2} + 8t - 1$.

Vận tốc của chuyển động khi t = 4 s bằng:

$v(4) = {9.4^2} + 8.4 - 1 = 175$ (m/s).

Dựa vào các đường tiệm cận và sự biến thiên của hàm số.

Mặt khác, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định: Xét các hàm số trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$:

 $y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0$. Loại đáp án A.

$y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0$. Chọn đáp án D.

Xét dấu f’(x) bằng cách quan sát đồ thị.

Khẳng định ở đáp án C sai, vì trên khoảng (-1; 1) đồ thị hàm số f’(x) nằm trên trục hoành, do đó f’(x) > 0 và hàm số y = f(x) đồng biến trên (-1; 1).

Dựa vào hình dạng đồ thị và các điểm đồ thị đi qua.

Nhánh cuối của đồ thị đi xuống từ trái sang nên loại đáp án D.

Đồ thị đi qua điểm (2; 2) nên chỉ có hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 2$ thỏa mãn.

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{4}{x}}} = \frac{{2 - 0}}{{2 + 0}} = 1$.

Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 1.

Dựa vào hình dạng đồ thị, giao của đồ thị với trục tung.

Đường cong là đồ thị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất. Loại đáp án A, D.

Đồ thị cắt trục Ox tại điểm có tung độ bằng -6. Loại đáp án B.

Quan sát bảng biến thiên, xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số.

a) Sai. Tập xác định của hàm số y = f(x) là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { 1} \right\}$.

b) Đúng. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng f(-1).

c) Đúng. Hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

d) Sai. Hàm số nghịch biến trên $(3; + \infty )$ nên f(4) > f(10).

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.

a) Đúng. $y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

b) Sai. Hàm số nghịch biến trên (-1; 1) nên không đồng biến trên (-3; 1).

c) Sai. $2{x_1} + {x_2} = 2( - 1) + 1 = - 1$.

d) Đúng. $AB = \sqrt {{{(1 - ( - 1))}^2} + {{( - 1 - 3)}^2}} = 2\sqrt 5$.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a) Sai. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng (-3; -2) và (-2; -1).

b) Đúng. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -3; đạt cực tiểu tại x = -1.

c) Sai. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

d) Đúng. Công thức hàm số có đồ thị như trên là $y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}$.

Có $y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}$.

Đồ thị hàm số trên đi qua các điểm (-1; 1), (-3; -3); có tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận xiên y = x + 1.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

a) Đúng. $P(12) = - {(12)^3} + {27.12^2} + 262144 = 264304$ (tấn).

b) Đúng. $P'(t) = - 3{t^2} + 54t = 0 \Leftrightarrow t = 18$ (vì $1 \le t \le 60$).

Ta có: P(1) = 262170, P(18) = 265060, P(60) = 143344.

Do đó ngày thứ 18 của tỉnh A có lượng gạo xuất khẩu cao nhất.

c) Sai. Ngày thứ 60 của tỉnh A có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất.

d) Đúng. Trên khoảng (18; 60) thì P’(t) < 0, hay hàm P(t) nghịch biến. Do đó từ ngày 18 đến ngày thứ 60 của tỉnh A có sản lượng xuất khẩu gạo giảm.

Đường thẳng y = ax + b $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

Ta có: $y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}$.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng y = x. Suy ra a = 1, b = 0.

Vậy P = 5a + 2024b = 5.1 + 2024.0 = 5.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)$.

$f'(x) = 4{x^3} - 24x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 6 \end{array}$ \right..

Ta có: f(0) = -1, $f(\sqrt 6 ) = - 37$, f(9) = 5588.

Do đó, GTLN và GTNN của f(x) lần lượt là 5588 và -37, tổng của chúng là 5588 + (-37) = 5551.

Xác định hàm v(t) = s’(t). Tìm GTLN của v(t) trên đoạn [0; 30].

$v(t) = s'(t) = - {t^2} + 36t - 35$.

$a(t) = v'(t) = - 2t + 36 = 0 \Leftrightarrow t = 18$.

Ta có: v(0) = -35, v(18) = 289, v(30) = 145.

Trong 30 giây đầu tiên, chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất là:

$v(18) = - {(18)^2} + 36.18 - 35 = 289$ (m/s).

Tìm khoảng P’(t) > 0 trên đoạn [1; 30].

Ta có: $P'(t) = \frac{3}{{50}}{t^2} - 3t + 36$.

Số lượng hồ sơ nộp tăng lên $\Leftrightarrow P'(t) > 0 \Leftrightarrow t \in \left( { - \infty ;20} \right) \cup \left( {30; + \infty } \right)$.

Kết hợp ĐK $t \in \left[ {1;30} \right]$, ta được $t \in (1;20)$. Suy ra a = 1, b = 20.

$P = \frac{b}{{3a}} = \frac{{20}}{{3.1}} \approx 6,67$.

Dựa vào các đường tiệm cận và giao của đồ thị với trục tung để xác định hệ số.

Dựa vào đồ thị:

Tiệm cận đứng $x = 1 \Rightarrow \frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = 1$.

Tiệm cận ngang $y = - 1 \Rightarrow \frac{a}{c} = - 1 \Rightarrow a = - c = - 1$.

Giao điểm của đồ thị với trục tung là $(0; - 2) \Rightarrow \frac{b}{{ - 1}} = - 2 \Rightarrow b = 2$.

Vậy T = a + 2b + c = -1 + 2.2 + 1 = 4.

Đặt CD = x. Lập hàm số biểu diễn tổng thời gian để anh An đến B theo x. Tìm x để hàm số trên đạt GTNN.

Đặt CD = x (km; $0 \le x \le 8$).

Quãng đường chèo thuyền:

$AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 9}$ (km).

Quãng đường chạy: DB = BC – CD = 8 – x (km).

Tổng thời gian di chuyển:

$t(x) = \frac{{AD}}{6} + \frac{{DB}}{8} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}$ (giờ).

Xét trên [0; 8]: $t'(x) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{{\sqrt 7 }} \approx 1,33$.

Ta có t(0) = 1,5; $t\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) \approx 1,33$; $t(8) \approx 1,42$.

Vậy khoảng thời gian nhanh nhất để anh An đến B là xấp xỉ 1,33 giờ.