Đề giữa kỳ 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THCS - THPT Bàu Hàm – Đồng Nai

Hàm số đồng biến trên khoảng f’(x) > 0.

Ham số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Quan sát bảng biến thiên và trả lời.

Điểm cực đại của hàm số đã cho là x = 1.

Quan sát đồ thị để xác định các giá trị min, max.

M = 3, m = -2. Do đó M – m = 3 – (-2) = 5.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ là $y = \frac{a}{c}$.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}$ là y = 2.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = ax + b + \frac{c}{{dx + e}}$ là đường thẳng y = ax + b.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x + 4 - \frac{{10}}{{x + 2}}$ là đường thẳng y = x + 4.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là  (2; 2).

Áp dụng quy tắc hình hộp.

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$.

Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng liên tục mà f’(x) < 0.

f’(x) < 0 khi -2 < x < 1 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 1).

Tọa độ điểm A là tọa độ $\overrightarrow {OA} = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k = (a;b;c)$.

$\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 5\overrightarrow k = (2;3; - 5) \Rightarrow A(2;3; - 5)$.

Áp dụng công thức $\cos \left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow y } \right) = \frac{{\overrightarrow x .\overrightarrow y }}{{\left| {\overrightarrow x } \right|.\left| {\overrightarrow y } \right|}}$.

$\cos \left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow y } \right) = \frac{{\overrightarrow x .\overrightarrow y }}{{\left| {\overrightarrow x } \right|.\left| {\overrightarrow y } \right|}} = \frac{6}{{3.4}} = \frac{1}{2}$.
Vậy $\left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow y } \right) = {60^o}$.

Đưa về xác định góc giữa hai vecto chung gốc.

$\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {ACB} = {60^o}$.

Tính đạo hàm, khảo sát hàm g(x).

$g'(x) = [f(x) + x]' = f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = - 3\\x = 0\\x = 3\end{array}$ \right..

g’(x) = f’(x) chỉ đổi dấu qua các điểm x = 0 và x = 3 nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

a) Sai. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $( - \infty ;0)$ và $(1; + \infty )$.

b) Đúng. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại x = 1.

c) Sai. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

d) Sai. Đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ cắt đồ thị y = f(x) tại 1 điểm nên phương trình $f(x) = \frac{1}{2}$ có 1 nghiệm duy nhất.

Dựa vào ứng dụng vật lí của đạo hàm: v(t) = s'(t); a(t) = v'(t).

a) Đúng. $S(3) = - {2.3^3} + {45.3^2} = 351$ (m).

b) Đúng. $v(t) = S'(t) = - 6{t^2} + 90t$ (m/s).

c) Sai. $a(t) = v'(t) = - 12t + 90 \Rightarrow a(5) = 30$ $\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)$.

d) Sai. $a(t) = - 12t + 90 = 0 \Leftrightarrow t = 7,5$ (s).

Ta có v(0) = 0, v(7,5) = 337,5, v(9) = 324.

Vậy vận tốc tức thời lớn nhất bằng 337,5 m/s trong khoảng 9 giây kể từ thời điểm bắt đầu chuyển động.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

$y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x + 2}} = x - 4 + \frac{{11}}{{x + 2}}$.

a) Đúng. $y' = 1 - \frac{{11}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}{x_1} = - 2 - \sqrt {11} \\{x_2} = - 2 + \sqrt {11} \end{array}$ \right..

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Sai. Hai điểm cực trị có tọa độ không là các số nguyên.

c) Đúng. Tiệm cận đứng của đồ thị là x = -2.

d) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [y - (x - 4)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{11}}{{x + 2}} = 0$, do đó tiệm cận xiên là y = x – 4.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

a) Đúng. $\overrightarrow {OM} = (3;6;2)$.

b) Đúng. Cao độ ${z_M} = 2$ km = 2000 m.

c) Sai. Hình chiếu của M(3; 6 2) trên mặt phẳng (Oxy) là M(3; 6; 0).

d) Đúng. $OM = \sqrt {{3^2} + {6^2} + {2^2}} = 7$ km.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

$y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Xét trên [-2; 0], ta có:

y(-2) = 0, y(-1) = 4, y(0) = 2.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{[ - 2;0]} y = 4$, $\mathop {\min }\limits_{[ - 2;0]} y = 0$.

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là: 4 + 0 = 4.

$\overrightarrow {AB} = (x_B - x_A ; y_B - y_A ;z_B - z_A)$.

$\overrightarrow {AB} = (4 - 1;3 - 1;1 - ( - 2)) = (3;2;3)$.

Vậy T = a + b + c = 3 + 2 + 3 = 8.

Ứng dụng đạo hàm, tìm GTLN của hàm G(x) trên [0; 48].

$G'(x) = 144{x^2} - 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = 36\end{array}$ \right..

Ta có: G(0) = 0; G(36) = 559872; G(48) = 0.

Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất x = 36.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vert{}\vec{AB}\vert{} \cdot \vert{}\vec{AC}\vert{} \cdot \cos(\vec{AB}, \vec{AC})$.

Tứ diện ABCD đều nên tam giác ABC đều, do đó $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {10}$ và $\widehat {BAC} = {60^o}$.

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \sqrt {10} .\sqrt {10} .\cos {60^o} = 10.\frac{1}{2} = 5$.

Gọi độ dài đáy hộp hình vuông là x (cm). Biểu diễn thể tích hộp theo x. Tìm x để hàm số V(x) đạt GTLN.

Gọi độ dài đáy hộp hình vuông là x (cm).

Diện tích toàn phần: ${S_{TP}} = 2{x^2} + 4xh = 54$

$\Rightarrow h = \frac{{54 - 2{x^2}}}{{4x}} = \frac{{27 - {x^2}}}{{2x}}$.

Vì x > 0 và h > 0 nên $0 < x < \sqrt {27}$.

Thể tích: $V(x) = {x^2}h = {x^2}.\frac{{27 - {x^2}}}{{2x}} = \frac{1}{2}(27x - {x^3})$ $(c{m^3})$.

Xét $\left( {0;\sqrt {27} } \right)$: $V'(x) = \frac{1}{2}(27 - 3{x^2}) = 0 \Leftrightarrow x = 3$.

Ta có: V(0) = 0, V(3) = 27, $V(\sqrt {27} ) = 0$.

Vậy hộp có thể tích lớn nhất là 27 $c{m^3}$.

Áp dụng công thức tính cường độ hợp lực:

${\left| {\overrightarrow {{F_{12}}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)$.

${\left| {\overrightarrow {{F_{12}}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\cos {120^o}$

$= {15^2} + {12^2} + 2.15.12.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 189$.

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_{12}}} } \right| = \sqrt {189}$ (N).

Vì $\overrightarrow {{F_3}}$ vuông góc với mặt phẳng chứa $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ nên $\overrightarrow {{F_3}} \bot \overrightarrow {{F_{12}}}$.

Do đó: $\left| {\vec F} \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_{12}}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2}} = \sqrt {189 + {9^2}} = \sqrt {270} \approx 16,4$ (N).