Đề giữa kỳ 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng

Hàm số đồng biến trên khoảng f’(x) > 0.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$ và $\left( {8; + \infty } \right)$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng nhánh đồ thị đi xuống từ trái sang.

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (2; 3).

Tính đạo hàm, khảo sát hàm số.

$y' = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}$} \right..

Vì hệ số cao nhất của hàm số là 1 > 0, do đó nhánh cuối của đồ thị đi lên từ trái sang, hay x = -2 là điểm cực đại của hàm số.

Quan sát đồ thị và trả lời.

Hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Quan sát bảng biến thiên.

Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = - \infty$ nên x = 2 là tiệm cận đứng, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1$ nên y = 1 là tiệm cận ngang.

Quan sát bảng biến thiên.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 1.

Dựa vào tiệm cận ngang và giao của đồ thị với trục tung để tìm a, b.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = \frac{a}{1} = - 1 \Rightarrow a = - 1 < 0$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $\frac{b}{1} = - 2 \Rightarrow b = - 2 < 0$.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)$.

$y' = 4{x^3} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$ \right..

Ta có y(0) = 2, $y\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{7}{4}$, y(3) = 74.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^4} - {x^2} + 2$  trên đoạn [0; 3] bằng 74.

Dựa vào số điểm cực trị, hướng đồ thị, giao điểm với các trục tọa độ,…

Hình vẽ có dạng đồ thị của hàm đa thức bậc ba. Nhánh cuối của đồ thị đi lên từ trái sang, do đó ta loại đáp án A, D.

Xét hàm số $y = {x^3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Xét hàm số $y = {x^3} + 3x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 3 > 0$ với mọi số thực x.

Vậy hàm số cần tìm là $y = {x^3} - 3x + 2$.

Quan sát đồ thị.

Ta có M = 4, m = 2. Vậy M + 2m = 4 + 2.2 = 8.

Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{3x + 2}}{{1 - x}}$ có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang lần lượt là x = 1 và y = -3.

Dựa vào hình dạng đồ thị, các đường tiệm cận, giao điểm với các trục tọa độ,…

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = 2. Loại đáp án B, C.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. Loại đáp án A.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a) Đúng. Nhánh đồ thị đi xuống từ trái qua phải, có tiệm cận đứng x = 1 nên $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

b) Đúng. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

c) Sai. Đồ thị hàm số y = f(x) có đường tiệm cận đứng là x = 1 và đường tiệm cận ngang là y = -1.

d) Sai. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2, suy ra $\frac{b}{1} = - 2 \Rightarrow b = - 2$.

Tiệm cận đứng $x = - \frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = - 1$.

Tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c} = - 1 \Rightarrow \frac{a}{{ - 1}} = - 1 \Rightarrow a = 1$.

Vậy a + b + c = 1 + (-2) + (-1) = -2.

Tính đạo hàm, khảo sát hàm số.

a) Đúng. $y' = f'(x) = 3{x^2} - 6x$.

b) Sai. $y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}$ \right..

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

c) Đúng. Hàm số có hai điểm cực trị.

d) Đúng. Vì hàm số đồng biến trên  nên f(2025) < f(2026).

Lập hàm thể tích của hộp theo x, tìm x sao cho hàm đạt GTLN.

Chiều dài và chiều rộng của hộp là: 120 – 2x và 50 – 2x (cm).

Chiều cao của hộp là: x (cm; 0 < x < 25).

Thể tích hộp là:

$V(x) = x(50 - 2x)(120 - 2x) = 4{x^3} - 340{x^2} + 6000x$ $(c{m^3})$.

$V'(x) = 12{x^2} - 680x + 6000 = 0 \Leftrightarrow x \approx 11$ (cm).

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì x xấp xỉ 11 cm.

Đường thẳng y = ax + b $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0$.

$f(x) = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}} = x + 5 + \frac{{10}}{{x - 2}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (x + 5)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{10}}{{x - 2}} = 0$, do đó tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = x + 5.

Do đó a = 1, b = 5. Vậy 2a – b = 2.1 – 5 = -3.

Điểm cực đại là điểm mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm.

Quan sát đồ thị hàm f’(x), ta thấy f’(x) đổi dấu từ dương sang âm 2 lần (cắt trục hoành tại 2 điểm mà tại đó đồ thị từ phía trên đi xuống phía dưới). Vậy hàm số y = f(x) có 2 điểm cực đại.

Ứng dụng đạo hàm, tìm GTLN của hàm số N’(t).

$N'(t) = 1000 \cdot \frac{{ - \left( {1 + 99{e^{ - 0,46t}}} \right)'}}{{{{\left( {1 + 99{e^{ - 0,46t}}} \right)}^2}}} = \frac{{45540 \cdot {e^{ - 0,46t}}}}{{{{\left( {1 + 99{e^{ - 0,46t}}} \right)}^2}}}$.

Đặt $u = 99{e^{ - 0,46t}} > 0$. Xét hàm số $f(u) = 455,4.\frac{u}{{{{(1 + u)}^2}}}$:

$f'(u) = 455,4.\frac{{{{(1 + u)}^2} - u.2(1 + u)}}{{{{(1 + u)}^4}}} = 455,4.\frac{{1 - u}}{{{{(1 + u)}^3}}}$.

$f'(u) = 0 \Leftrightarrow u = 1$.

Lập bảng biến thiên, thấy f(u) đạt cực đại tại u = 1.

Khi đó $99{e^{ - 0,46t}} = 1 \Leftrightarrow t \approx 10$.

Vậy vào khoảng tuần thứ 10 thì tốc độ lây lan của dịch bệnh là lớn nhất.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

$y' = 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array}$ \right..

Ta có: f(2) = 16, f(4) = 0, f(6) = 32. Do đó M = 32, m = 0.

Vậy 2M – 3m = 2.32 – 3.0 = 64.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình parabol, từ đó tính diện tích hình chữ nhật. Ứng dụng đạo hàm, tính GTLN của hàm diện tích.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình:

Giả sử phương trình parabol có dạng $y = a{x^2} + bx + c$ $(a \ne 0)$.

Parabol có đỉnh là điểm I(0; 15), đi qua điểm có tọa độ (5; 10) nên ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}15=a{.0}^2+b.0+c\\ 10=a{.5}^2+b.5+c\\ -\frac{b}{2a}=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{5}\\ b=0\\ c=15\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}15 = a{.0^2} + b.0 + c\\10 = a{.5^2} + b.5 + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right.$ \Rightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{5}\\b = 0\\c = 15\end{array} \right.$.

Vậy parabol có phương trình $y = - \frac{1}{5}{x^2} + 15$.

Vì C thuộc parabol nên $C\left( {c; - \frac{1}{5}{c^2} + 15} \right)$ là đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Ta có AB = 2c, $BC = - \frac{1}{5}{c^2} + 15$.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

$S = 2c.\left( { - \frac{1}{5}{c^2} + 12} \right) = - \frac{2}{5}{c^3} + 24c$.

$S' = - \frac{6}{5}{c^2} + 24 = 0 \Leftrightarrow c = 2\sqrt 5$ (vì c > 0).

Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là:

$S(2\sqrt 5 ) = 32\sqrt 5 \approx 71,6$ $\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Tính đạo hàm, xác định các điểm cực trị A, B và tính độ dài AB.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - 2} \right\}$.

$y' = \frac{{\left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( { - {x^2} + x + 5} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 4x - 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} = - 1 \Rightarrow {y_1} = 3 \Rightarrow A\left( { - 1;3} \right)}\\{{x_2} = - 3 \Rightarrow {y_2} = 7 \Rightarrow B\left( { - 3;7} \right)}\end{array}$} \right..

Vậy $AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.