Đề giữa kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Hà Huy Giáp – Cần Thơ

Dựa vào đặc điểm của đồ thị.

Nhánh cuối của đồ thị đi lên từ trái sang nên a > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 0 nên d > 0.

Hàm số đồng biến trên khoảng f'(x) mang dấu dương.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty} \right)$.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Hàm số có 3 cực trị.

Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét.

Trên $\left( {0; + \infty} \right)$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1.

Hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Đồ thị hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {- \infty; - 1} \right)$.

Áp dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 20.24.\frac{2}{3} = 320$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $(c \ne 0)$ có đường tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c}$.

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ có đường tiệm cận đứng là $x = -2$.

Áp dụng quy tắc ba điểm.

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overset{\rightarrow}{MN} + \overset{\rightarrow}{NP} = \overset{\rightarrow}{MP}$.

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng f'(x) >0.

Đồ thị hàm số f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành) trên khoảng $\left( {1; + \infty} \right)$.

Do đó hàm số f(x) đồng biến trên $\left( {1; + \infty} \right)$.

Quan sát bảng biến thiên và chỉ ra M, m.

Ta có M = 2, m = -2 nên ${M^2} + {m^2} = {2^2} + {( - 2)^2} = 8$.

Áp dụng tính chất trung điểm của vecto.

S.ABCD là chóp đều nên ABCD là hình vuông cạnh $a\sqrt 3$.

Khi đó $BD = a\sqrt 3 .\sqrt 2 = a\sqrt 6 \Rightarrow OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Ta có $SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}} = \sqrt {2{a^2} - \frac{3}{2}{a^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Vì O là trung điểm của AC nên $\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SO} } \right| = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Áp dụng quy tắc hình hộp.

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{AA'}$.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

a) Sai. Hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)$ và $\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$.

b) Sai. Hàm số không liên tục trên $\left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)$ nên không nghịch biến trên khoảng đó.

c) Đúng. Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0.

d) Sai. Thay $x = \sqrt 3$ vào phương trình $y = \frac{{{x^2} - 3}}{x}$, được y = 0. Theo bảng biến thiên, khi $x = \sqrt 3$ thì $y = 2\sqrt 3$. Vậy $y = \frac{{{x^2} - 3}}{x}$ không phải phương trình của hàm số y = f(x).

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

a) Sai. $f(1) = - \frac{1}{3}{.1^3} + {14.1^2} + 60.1 - 54 = \frac{{59}}{3} \approx 19,67$ (triệu đồng).

b) Sai. $f(48) = - \frac{1}{3}{.48^3} + {14.48^2} + 60.48 - 54 = - 1782$ (triệu đồng).

c) Sai. $f'(x) = - {x^2} + 28x + 60 = 0 \Leftrightarrow x = 30$ (vì x > 0).

- Với $x \in \left( {20;30} \right)$: $f'\left( x \right) > 0 \Rightarrow$ Lợi nhuận tăng.

- Với $x \in \left( {30;40} \right)$: $f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow$ Lợi nhuận giảm.

Do đó, lợi nhuận không thể luôn tăng trên khoảng từ 20 đến 40 sản phẩm.

d) Đúng. Lợi nhuận lớn nhất khi x = 30:

$f(30) = - \frac{1}{3}{.30^3} + {14.30^2} + 60.30 - 54 = 5346$ (triệu đồng).

Quan sát bảng biến thiên.

a) Đúng. Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1).

b) Đúng. Trên [-1; 1], hàm số đạt GTNN là -1.

c) Sai. Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là: 3 + (-1) = 2.

d) Đúng. Đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = 3 tại 2 điểm.

a) Áp dụng quy tắc ba điểm.

b) Tính độ dài đoạn thẳng AC.

c) Áp dụng công thức tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

d) Hai vecto bằng nhau có cùng hướng và cùng độ dài.

a) Sai. Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

b) Đúng. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 10$ cm.

c) Sai. Tam giác ABD là tam giác đều cạnh 10 cm, do đó $(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ) = \widehat {BAD} = {60^o}$.

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 10.10.\cos {60^o} = 50$.

d) Sai. Ba vecto trên không cùng phương nên chúng không thể bằng nhau.

Tìm khoảng đồng biến bằng cách giải bất phương trình y’ > 0.

$y' = - 3{x^2} + 6x$.

Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow y' > 0$

$\Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$.

Do đó khoảng đồng biến là (0; 2).

Vậy $P = \frac{{0 - 2}}{4} = - \frac{2}{4} = - 0,5$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \neq 0, ad - bc \neq 0$) có:

- Tiệm cận đứng: $x = -\frac{d}{c}$.

- Tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c}$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -4, tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{2}$.

Giao điểm hai đường tiệm cận là $\left( { - 4;\frac{1}{2}} \right)$.

Vậy $T = ab = - 4.\frac{1}{2} = - 2$.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

$f'(x) = 6{x^2} - 10x - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{8}{3}\end{array}$ \right..

Vì hệ số cao nhất của hàm số bậc ba f(x) là 2 > 0 nên điểm cực đại của hàm số là x = -1, giá trị cực đại là:

$f( - 1) = 2{( - 1)^3} - 5{( - 1)^2} - 16( - 1) + 2024 = 2033$.

Quan sát bảng biến thiên.

Hàm số đạt GTNN là -3 tại x = 2, suy ra m = 2.

Do đó $P = \frac{3}{m} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Gọi kích thước mặt sàn nhà kho hình chữ nhật là x, y. Biểu diễn y theo x. Lập hàm số S(x) biểu diễn tổng diện tích tường cần xây. Tìm x sao cho S(x) đạt GTNN, từ đó tính chi phí nhỏ nhất.

Gọi kích thước mặt sàn nhà kho hình chữ nhật là x và y (đơn vị: m; x, y > 0).

Theo bài ra, diện tích mặt sàn là: $x.y = 648 \Rightarrow y = \frac{{648}}{x}$ (m).

Tổng độ dài của các bức tường là:

$L = 2x + 4y = 2x + \frac{{2592}}{x}$ (m).

Tổng diện tích tường cần xây:

$S(x) = 4\left( {2x + \frac{{2592}}{x}} \right) - 12$ ${\rm{(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$.

Xét hàm số $$f(x) = 2x + \frac{{2592}}{x}$$ trên khoảng $(0; + \infty )$:

$f'(x) = 2 - \frac{{2592}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{{2592}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 36$ (do x > 0).

Bảng biến thiên:

Ta thấy f(x) đạt GTNN tại x = 36:

$f(36) = 2.36 + \frac{{2592}}{{36}} = 144$.

Khi đó $S(36) = 4.144 - 12 = 564$ ${\rm{(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$.

Số tiền công thợ xây tối thiểu chủ nhà phải chi trả là:

$T = 564.100000 = 56400000$ (đồng) = 56,4 (triệu đồng).

Công thức tính đường chéo d của hình hộp chữ nhật kích thước a, b, c:

$d = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$.

Ta có $AC{'^2} = {10^2} + {15^2} + {30^2} = 1225$.

Do đó ${\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|^2} = AC{'^2} = 1225$.