Bài 4 trang 18 sgk hình học 12


Cho hình bát diện đều ABCDEF:

Bài 4. Cho hình bát diện đều \(ABCDEF\) (h.1.24).

Chứng minh rằng :

a) Các đoạn thẳng \(AF, BD\) và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) \(ABFD, AEFC\) và \(BCDE\) là những hình vuông.

Giải (H.12)

a) Do \(B, C, D, E\) cách đều \(A\) và \(F\) nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của \(AF\)).

Tương tự, \(A, B, F, D\) đồng phẳng và \(A, C, F, E\) đồng phẳng

Gọi \(I\) là giao của \((AF)\) với \((BCDE)\). Khi đó \(B, I, D\) là những điểm chung của hai mặt phẳng \((BCDE)\) và \((ABFD)\) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, \(E, I , C\) thẳng hàng.

Vậy \(AF, BD, CE\) đồng quy tại \(I\).

Vì \(BCDE\) là hình thoi nên \(EC\) vuông góc với \(BC\) và cắt \(BC\) tại \(I\) là trung điểm của mỗi đường. \(I\) là trung điểm của \(AF\) và \(AF\) vuông góc với \(BD\) và \(EC\), do đó các đoạn thẳng \(AF, BD\), và \(CE\) đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

b) Do \(AI\) vuông góc \((BCDE)\) và \(AB = AC =AD = AE\) nên \(IB = IC= ID = IE\). Từ đó suy ra hình thoi \(BCDE\) là hình vuông. Tương tự \(ABFD, AEFC\) là những hình vuông.

loigiaihay.com

Đã có lời giải Sách bài tập - Toán lớp 12 và Bài tập nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2018, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu