Bài 2 trang 18 sgk hình học 12


Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Bài 2. Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Hướng dẫn giải 

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng a. Khi đó diện tích toàn phần của nó là: S1 = 6. a2

Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là 8 lầm diện tích tam goác đều MQE (hình vẽ)

Xét tam giác ACD’, ta có M, Q lần lượt là trung điểm của AC và AD’ nên MQ là đường trung bình của tam giác ACD’, do đó \(MQ = {1 \over 2}C{\rm{D}}' = {1 \over 2}\sqrt {2{\rm{a}}} \) 

Ta có \({S_{AMQE}} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}\sqrt {2{\rm{a}}} } \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {1 \over 8}{a^2}\sqrt 3 \) 

Diện tích xung quanh của bát diện đều là: \({S_2} = 8.{1 \over 8}.{a^2}\sqrt 3  = {a^2}\sqrt 3 \)

Do đó: \({{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{6{{\rm{a}}^2}} \over {a\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \) 

>> Khai giảng Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2018 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín, nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại học..