Đề học kì 2 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Trưng Vương – Hà Nội

1.

a) Quan sát biểu đồ tần số tương đối (dạng cột), xác định giá trị tương ứng của cột chứa nhóm $\lbrack 5;6)$ trên trục Tần số tương đối (%).

b) Đọc tần số tương đối $f_{i}$ (%) của nhóm $\lbrack 3;4)$ từ biểu đồ.

Dùng công thức: Tổng số người tham gia = Số người của nhóm : Tần số tương đối của nhóm.

2. Liệt kê các phần tử của không gian mẫu $\Omega$ (các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số và nhỏ hơn 40) để tính số phần tử $n(\Omega)$.

Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $M$ ("Số tự nhiên được viết ra là bội của 3") để tính số phần tử $n(M)$.

Áp dụng công thức tính xác suất của biến cố: $P(M) = \dfrac{n(M)}{n(\Omega)}$

1.

a) Tần số tương đối của nhóm [5;6) là 33%

b) Tần số tương đối của nhóm [3;4) là 10%

Số người tham gia khảo sát ban đầu là: $20:10\% = 200$ (người)

2. Không gian mẫu $\left. \Omega = \text{\{}11,13,15........39 \right\}$ gồm 15 phần tử.

Ta thấy các kết quả có thể xảy ra của phép thử là đồng khả năng.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $M$ là các số lẻ nhỏ hơn 40 chia hết cho 3, gồm: 15, 21, 27, 33, 39. Do đó $n(M) = 5$.

Xác suất của biến cố M là $P(M) = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}.$

1. Kiểm tra điều kiện xác định ($x = 16$ thỏa mãn $x > 0,x \neq 9$).

Thay $x = 16$ vào biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$ rồi thực hiện tính toán.

2. Quy đồng mẫu thức của $B = \dfrac{x}{x - 9} + \dfrac{\sqrt{x}}{6 - 2\sqrt{x}}$ với MTC = $2(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$.

Biến đổi, rút gọn tử thức và phân tích thành nhân tử để triệt tiêu nhân tử chung ở cả tử và mẫu.

3. Rút gọn biểu thức $2AB$.

Cho $2AB = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} + 2}$, chuyển vế đưa về dạng tích hoặc chia 2 trường hợp ($\sqrt{x} - 2 = 0$ và $\sqrt{x} - 2 \neq 0$) để giải phương trình tìm $x$.

Đối chiếu giá trị $x$ tìm được với ĐKXĐ ($x > 0,x \neq 9$).

1. Thay $x = 16$ (TMĐK) vào biểu thức A ta có:

$A = \dfrac{\sqrt{16} - 2}{\sqrt{16}} = \dfrac{1}{2}.$

2. Với $x > 0,\,\, x \neq 9$, ta có:

$B = \dfrac{x}{x - 9} + \dfrac{\sqrt{x}}{6 - 2\sqrt{x}}$

$= \dfrac{x}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} - \dfrac{\sqrt{x}}{2(\sqrt{x} - 3)}$

$= \dfrac{2x}{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} - \dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{2x}{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} - \dfrac{x + 3\sqrt{x}}{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{x-3\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{2\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}+3\right)}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{x - 3\sqrt{x}}{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x}}{2\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}} \end{array}$

$= \dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 6}$ (ĐPCM).

3. Ta có:

$\begin{array}{l}2A\mathrm{.}B={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}-1}}\\ 2.{\displaystyle \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}+2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {2A.B = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} - 1}} \\ {2.\dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}.\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 6} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} + 2}} \end{array}$

$\dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2\sqrt{x} + 2}$ (*)

TH1: $\sqrt{x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$ thỏa mãn (*) và TMĐK

TH2: $\sqrt{x} - 2 \neq 0$

$\sqrt{x} \neq 2$

$x \neq 4$

Khi đó, chia hai vế phương trình (*) cho $\sqrt{x} - 2$, ta được:

$\dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{2\sqrt{x} + 2}$

$\sqrt{x} + 3 = 2\sqrt{x} + 2$

$x = 1$ (TMĐK)

Vậy $x \in \left\{ 1;4 \right\}$

1.

- Đổi các đơn vị về cùng một đơn vị (kg hoặc tấn): $2,5$ tấn $= 2500\text{~kg}$.

- Gọi ẩn $x$ là số thùng nước ngọt ($x \in {\mathbb{N}}^{*}$).

- Lập bất phương trình biểu diễn tổng khối lượng hàng và người không vượt quá trọng tải cho phép.

- Giải bất phương trình và tìm giá trị nguyên lớn nhất của $x$.

2.

- Gọi giá tiền mỗi lít xăng ban đầu là $x$ (nghìn đồng, $x > 0$).

- Biểu diễn số lít xăng dự kiến mua được là $\dfrac{1800}{x}$.

- Biểu diễn giá xăng sau khi tăng và số lít xăng thực tế mua được.

- Lập phương trình theo mối liên hệ giữa số lít xăng thực tế và dự kiến, giải phương trình và đối chiếu điều kiện

3.

- Áp dụng hệ thức Vi-ét tính $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1}x_{2}$ theo $m$.

- Đặt điều kiện để các biểu thức xác định ($x_{1}x_{2} \neq 0$).

- Biến đổi đẳng thức $\dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{1}{x_{2}} = x_{1}x_{2}$ để tìm $m$.

- Biến đổi biểu thức $A = \dfrac{x_{1}}{x_{2}} + \dfrac{x_{2}}{x_{1}} = \dfrac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$,

thay giá trị $m$ vừa tìm được vào để tính $A$.

1. Đổi $2,5$ tấn $= 2500\text{~kg}$

Gọi số thùng nước ngọt xe có thể chở là x (thùng; $x \in {\mathbb{N}}*).$

Tổng khối lượng của các thùng hàng và người trên xe là: $8,3x + 70\ (kg)$

Vì trọng tải tối đa của xe là 2500 kg nên ta có bất phương trình:

$8,3x + 70 \leq 2500$

$\begin{array}{l}8,3x\le 2500-70\\ 8,3x\le 2430\\ x\le {\displaystyle \frac{2430}{8,3}}\approx 292,77\end{array}$$\begin{array}{l} {8,3x \leq 2500 - 70} \\ {8,3x \leq 2430} \\ {x \leq \dfrac{2430}{8,3} \approx 292,77} \end{array}$

Vì $x \in {\mathbb{N}}*,x$ lớn nhất nên $x = 292$.

Vậy xe chở được nhiều nhất 292 thùng nước ngọt.

2. Gọi giá tiền mỗi lít xăng ban đầu là x (nghìn đồng, $x > 0).$

Số lít xăng có thể mua ban đầu là $\dfrac{1800}{x}$ (l).

Thực tế, giá xăng $x + 6$ nghìn đồng/lít nên số lít xăng thực tế mua là $\dfrac{1800}{x + 6}$ (l).

Do lượng xăng thực tế bằng 0,8 so dự kiến nên ta có phương trình:

$\dfrac{1800}{x + 6} = 0,8\dfrac{1800}{x}.$

$\dfrac{1}{x + 6} = \dfrac{0,8}{x}$

$0,8(x + 6) = x$

$0,8x + 4,8 = x$

$0,2x = 4,8$

$x = 24$ (Thỏa mãn)

Vậy giá tiền mỗi lít xăng ban đầu là 24 nghìn đồng.

3. Ta có: $x^{2} - (2m - 1)x - m = 0$.

Theo định lí Viet: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-1\\ x_1{x}_2=-m\end{array}\mathrm{.}$$\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 2m - 1} \\ {x_{1}x_{2} = - m} \end{array} \right..$

ĐK: $x_{1} \neq 0;x_{2} \neq 0$

Suy ra $x_{1}x_{2} \neq 0$ hay $m \neq 0$

Ta có: $\dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{1}{x_{2}} = x_{1}x_{2}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}=x_1{x}_2\\ {\displaystyle \frac{2m-1}{-m}}=-m\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = x_{1}x_{2}} \\ {\dfrac{2m - 1}{- m} = - m} \end{array}$

$2m - 1 = m^{2}$

$m^{2} - 2m + 1 = 0$

${(m - 1)}^{2} = 0$

$m - 1 = 0$

$m = 1$ (TMĐK)

Với $m = 1$, ta có: $x_{1} + x_{2} = 2(1) - 1 = 1$ và $x_{1}x_{2} = - 1$.

Ta có: $A = \dfrac{x_{1}}{x_{2}} + \dfrac{x_{2}}{x_{1}} = \dfrac{x_{1}{}^{2} + x_{2}{}^{2}}{x_{1}x_{2}} = \dfrac{\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \dfrac{1^{2} - 2.( - 1)}{- 1} = \dfrac{1 + 2}{- 1} = - 1$

Vậy $A = - 1$.

1.

a) Bán kính quả bóng $R = \dfrac{d}{2} = 11\text{~cm}$. Áp dụng công thức diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^{2}$.

b) Áp dụng công thức thể tích hình cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$

Thời gian bơm = Thể tích : Tốc độ bơm.

2.

a) Chứng minh: S, A, D thuộc đường tròn đường kính SD.

S, D, M thuộc đường tròn đường kính SD.

Từ đó, suy ra S, A, D, M cùng thuộc đường tròn đường kính SD.

Hay tứ giác $ADMS$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chỉ ra $\widehat{BOK} = \widehat{\text{CO}K} = > \overset{\frown}{BK} = \overset{\frown}{CK} = > \widehat{KBC} = \widehat{KAB}$.

Chứng minh $\Delta KBD$ đồng dạng với $\Delta KAB$.

Từ đó suy ra $\dfrac{KB}{KA} = \dfrac{KD}{KB} = > KB^{2} = KA.KD$

Chỉ ra $\widehat{AOQ} = \widehat{ABD} = \dfrac{1}{2}s\text{d}\overset{\frown}{AC}$

$\begin{array}{l}\widehat{OAQ}+\widehat{OAK}={90}^0\\ \widehat{KDM}+\widehat{OKA}={90}^0=>\widehat{BDA}+\widehat{OKA}={90}^0\end{array}$$\begin{array}{l} {\widehat{OAQ} + \widehat{OAK} = 90^{0}} \\ {\widehat{KDM} + \widehat{OKA} = 90^{0} = > \widehat{BDA} + \widehat{OKA} = 90^{0}} \end{array}$

Từ đó suy ra $\widehat{OAQ} = \widehat{BDA}$

Kết luận tam giác $AOQ$ đồng dạng với tam giác $DBA$.

c) Chỉ ra $\widehat{AQO} = \widehat{KAC}\left( {= \widehat{KAB}} \right)$ từ đó suy ra $\Delta ADC$ đồng dạng với $\Delta QSO$

Từ đó suy ra $\Delta DTC$ đồng dạng $\Delta SQK$

Từ đó suy ra $\widehat{DTC} = \widehat{SQK}$

Có $\widehat{SQK} + \widehat{AKQ} = 90^{0}(\widehat{KAQ} = 90^{0})$ từ đó suy ra $CT\bot KQ$

1.

a) Diện tích da để làm một quả bóng là:

$4\pi.11^{2}$$\approx 1519,76$ ($cm^{2}$).

b) Thể tích quả bóng đá là:$\dfrac{4}{3}\pi.11^{3}$

Đổi $0,5l = 500cm^{3}$

Thời gian quả bóng đầy hơi là: $\dfrac{4}{3}\pi.11^{3}:500 \approx 11,1$ giây

Vậy sau khoảng $11,1$ giây thì quả bóng sẽ được bơm đầy hơi.

2.

a) Vì SK là đường kính của $(O)$ nên $\widehat{SAK} = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay $\widehat{SAD} = 90^{{^\circ}}$

Suy ra S, A, D cùng thuộc đường tròn đường kính AD (1)

Vì $OM\bot BC$ tại $M$ nên $\widehat{SMD} = 90^{{^\circ}}$

Suy ra S, M, D cùng thuộc đường tròn đường kính AD (2)

Từ (1) và (2) ta có: S, A, D, M cùng thuộc đường tròn đường kính AD.

Vậy tứ giác ADMS là tứ giác nội tiếp.

b) Vì $SK\bot BC$ tại $M$ nên $K$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$

Suy ra $\overset{\frown}{KB} = \overset{\frown}{KC}$

Do đó $\widehat{KBC} = \widehat{KAB}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

+) Xét $\Delta KBD$ và $\Delta KAB$ có:

$\widehat{AKB}$ là góc chung

$\widehat{KBD} = \widehat{KAB}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta KBD ∽ \backsim ∽ \Delta KAB$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{KB}{KA} = \dfrac{KD}{KB}$ (hai cạnh tương ứng)

Hay $KB^{2} = KD.KA$ (đpcm)

+) Vì $OQ$ là tia phân giác của $\widehat{AOC}$ nên $\widehat{AOQ} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOC}$.

+) Xét đường tròn $(O)$, ta có:

$\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOC}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $\overset{\frown}{AC}$)

Suy ra: $\widehat{AOQ} = \widehat{ABC} = \widehat{ABD}$.

Lại có: $\widehat{SAK} = 90^{{^\circ}}$ hay $AQ\bot AK$ suy ra $\widehat{OAQ} + \widehat{OAK} = 90^{{^\circ}}$ (1)

Trong $\Delta KDM$ vuông tại $M$, ta có: $\widehat{KDM} + \widehat{DKM} = 90^{{^\circ}}$

Suy ra $\widehat{BDA} + \widehat{OKA} = 90^{{^\circ}}$ (2)

Vì $\Delta OAK$ cân tại $O$ ($OA = OK = R$) nên $\widehat{OAK} = \widehat{OKA}$ (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có: $\widehat{OAQ} = \widehat{BDA}$.

+) Xét $\Delta AOQ$ và $\Delta DBA$ có:

$\widehat{AOQ} = \widehat{ABD}$ (cmt)

$\widehat{OAQ} = \widehat{BDA}$ (cmt)

Do đó, $\Delta AOQ \backsim \Delta DBA\text{~(g}\text{.g)}$

c)

Ta có $\widehat{AOC} = 2\widehat{KAC}$ (do $K$ là điểm chính giữa $\overset{\frown}{BC}$).

Suy ra $\widehat{KAC} = \widehat{KAB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOC}$

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta SQO$ ta có:

$\widehat{DAC} = \widehat{QSO}$

$\widehat{ADC} = \widehat{SQO}$

Do đó, $\Delta ADC \backsim \Delta SQO$ (g.g)

Lại có $T$ là trung điểm của AD, $K$ là trung điểm của SO (trên đoạn tương ứng của các tam giác đồng dạng).

Áp dụng tính chất tam giác đồng dạng đồng dạng theo đường trung tuyến (bổ đề mẹ - con), ta được: $\left. \Delta DTC \right.\sim\Delta SQK$ nên $\widehat{DTC} = \widehat{SQK}$

Trong tam giác vuông KAQ (vuông tại A do $\widehat{KAQ} = 90^{{^\circ}}$), ta có: $\widehat{SQK} + \widehat{AKQ} = 90^{{^\circ}}$

Thay $\widehat{SQK} = \widehat{DTC}$ vào đẳng thức trên: $\widehat{DTC} + \widehat{AKQ} = 90^{{^\circ}}$

Gọi $I$ là giao điểm của CT và QK.

Xét $\Delta TIK$ ta có: $\widehat{ITK} + \widehat{IKT} = \widehat{DTC} + \widehat{AKQ} = 90^{{^\circ}}$ hay $\widehat{TIK} = 90^{{^\circ}}$.

Vậy $CT\bot QK$ tại $I$ (đpcm).

- Biểu diễn các điều kiện thực tế thành hệ bất phương trình chứa hai biến $x$ (số áo loại A) và $y$ (số áo loại B).

- Biểu diễn tổng chi phí là $90x + 70y$.

- Sử dụng phương pháp đánh giá đại số để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chi phí thỏa mãn các điều kiện ràng buộc.

Gọi $x$ là số áo loại $A$ và $y$ là số áo loại $B$ mỗi ngày xưởng nên sản xuất.

Do tổng số áo sản xuất mỗi ngày tối thiểu $300$ nên $300 \leq x + y.$

Do mỗi ngày xưởng chỉ có thể may không quá $500$ áo loại $A$ và không quá $400$ áo loại $B$ nên $x \leq 500;y \leq 400$ và để đảm bảo cân đối đơn hàng, số áo mỗi loại không được ít hơn một nửa số áo loại còn lại nên $x \geq \dfrac{y}{2};$ $y \geq \dfrac{x}{2}$.

dẫn tới $2x \geq y \geq \dfrac{x}{2}$ nên $300 \leq x + y \leq x + 2x = 3x$ kéo theo $x \geq 100.$

Từ đó chi phí sản xuất là:

$90x + 70y = 70\left( {x + y} \right) + 20x \geq 70.300 + 20.100 = 23\,\, 000$ (nghìn đồng)$= 23$ triệu đồng.

Vậy để tổng chi phí là nhỏ nhất thì mỗi ngày xưởng nên sản xuất $100$ áo loại $A$ và $200$ áo loại $B.$