Đề học kỳ 2 Toán 9 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Ba Đình – Hà Nội

Đếm số lượng, lập bảng tần số ghép nhóm, và tính tần số tương đối ghép nhóm

Đếm kết quả thuận lợi của biến cố rồi tính xác suất

Số kết quả thuận lợi là 3 kết quả.

Tổng số kết quả có thể xảy ra là $3 + 3 + 2 = 8$ (kết quả)

Xác suất của biến cố là $\dfrac{3}{8}$.

a) Thay x=1, y = 2 vào hàm số, giải phương trình tìm k

b) Lấy 5 giá trị của x, thay vào ta được 5 giá trị tương đương của y, từ đó vẽ đồ thị hàm số

a) Thay $x = 1;y = 2$ vào hàm số $y = kx^{2}$ ta được $2 = k \cdot 1^{2}$

Suy ra $k = 2$.

b) Với $k = 2$, hàm số là $y = 2x^{2}$

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số $y = 2x^{2}$ là parabol đi qua 5 điểm có tọa độ là $\left( {- 2;8} \right)$; $\left( {- 1;2} \right)$; $\left( {0;0} \right)$; $\left( {1;2} \right)$; $\left( {2;8} \right)$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = \dfrac{- b + \sqrt{\Delta'}}{a};x_{2} = \dfrac{- b - \sqrt{\Delta'}}{a}$

$\Delta\ '\text{=9+14=23} > \text{0}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $x_{1} = 3 + \sqrt{23}$; $x_{2} = 3 - \sqrt{23}$

Định lý Viete đối với phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a};x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a}$

Vì $ac = 2 \cdot \left( {- 5} \right) < 0$ nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Viète ta được $x_{1} + x_{2} = 0,5;\,\,\, x_{1}x_{2} = - 2,5$

$\dfrac{x_{1}}{x_{2}} + \dfrac{x_{2}}{x_{1}} = \dfrac{\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \dfrac{\left( {0,5} \right)^{2} - 2 \cdot \left( {- 2,5} \right)}{- 2,5} = - 2,1$

a) Thể tích lòng bể là $\pi r^{2}h$

b) Tính thể tích bê tông $\pi R^{2}h - \pi r^{2}h^{'}$ rồi tính số tiền, so sánh

a) Thể tích lòng bể là $\pi r^{2}h \approx 3,14 \cdot 1^{2} \cdot 1,55 = 4,867$ ($m^{3}$)$= 4867$ (lít)

Vậy bể chứa được nhiều nhất khoảng 4867 lít nước.

b) Thể tích bê tông là $\pi R^{2}h - \pi r^{2}h^{'} \approx 3,14\left( {1,1^{2} \cdot 1,6 - 1^{2} \cdot 1,55} \right) = 1,21204$ ($m^{3}$).

Số tiền mua bê tông khoảng $1,21204$ triệu đồng $< 1,3$ triệu đồng nên chú Hùng đủ tiền mua bê tông tươi để làm bể nước trên.

a) Dùng 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh ta được tứ giác nội tiếp đường kính là đoạn thẳng đó.

b) Chứng minh 2 góc so le trong bằng nhau.

c) Chứng minh tứ giác OBEI nội tiếp, chứng minh đồng dạng từ đó chứng minh được $\bigtriangleup IDE$ cân

a) Chứng minh tứ giác $ABDE$ nội tiếp.

Vì $D$ là chân đường vuông góc kể từ $A$ đến $BC$ nên $AD\bot~BC$ hay $\widehat{ADB} = 90^{{^\circ}}$.

Tương tự ta có $\widehat{AEB} = 90^{{^\circ}}$.

$BDA$ và $BEA$ là các tam giác vuông với cạnh huyền là $AB$ nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

hay các điểm $A$, $B$, $D$, $E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$.

Vậy tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$.

b) Chứng minh $DE$ song song với $KC$.

Vì tứ giác $ABDE$ nội tiếp nên $\widehat{ABD} + \widehat{AED} = 180^{{^\circ}}$

Mà $\widehat{KED} + \widehat{AED} = 180^{{^\circ}}$ (kề bù) nên $\widehat{KED} = \widehat{ABD}$

Lại có $\widehat{ABC} = \widehat{AKC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$ của $(O)$)

Suy ra $\widehat{KED} = \widehat{AKC}$ mà đây là 2 góc so le trong nên $DE \parallel ~KC$

c) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\bigtriangleup IDE$ cân.

Vì tứ giác $ABDE$ nội tiếp nên $\widehat{IDE} = \widehat{OAB}$ (cùng bù với $\widehat{BDE}$)

$\bigtriangleup OBC$ cân tại $O$ nên đường trung tuyến $OI$ đồng thời là đường cao, suy ra $\widehat{OIB} = 90^{{^\circ}}$.

Vì $OIB$ và $OEB$ là các tam giác vuông có cạnh huyền $OB$ nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính $OB$, từ đó suy ra tứ giác $OBEI$ nội tiếp nên $\widehat{DIE} = \widehat{AOB}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn $\overset{\frown}{BE}$)

Xét $\bigtriangleup IDE$ và $\bigtriangleup OAB$ có

$\widehat{IDE} = \widehat{OAB}$;

$\widehat{DIE} = \widehat{AOB}$

Nên $\bigtriangleup IDE \sim \bigtriangleup OAB$ (g.g)

Mà $\bigtriangleup OAB$ cân tại $O$ nên $\bigtriangleup IDE$ cân tại $I$.

Đặt MC = x, NC = y, tìm điều kiện xác định của x, y.

Biến đổi giả thuyết đề bài theo x, y.

Dùng định lý Cauchy để tìm max.

$AB = BC = CD = DA = 4$ (cm).

Đặt $MC = x$, $NC = y$ ($0 < x;y < 8$).

Vì diện tích $\bigtriangleup CMN$ là 2 $\text{m}^{2}$ nên $xy = 4$.

Diện tích trồng rau là

$\dfrac{1}{2} \cdot 8\left( {8 - x} \right) + \dfrac{1}{2} \cdot 8\left( {8 - y} \right) = 64 - 4\left( {x + y} \right)$

Vì $\left( {\sqrt{x} - \sqrt{y}} \right)^{2} \geq 0$ nên $x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{4} = 4$

Diện tích trồng rau lớn nhất là $48$ $\text{m}^{2}$, khi $x = y = 2$.

Vậy $M \in BC$, $N \in CD$ sao cho $MC = NC = 2$ m thì diện tích trồng rau lớn nhất.