Đề kiểm tra học kì 2 môn Toán lớp 9 Trường THCS Mỹ Đình 2 năm 2024-2025

1) Đếm số lần xuất hiện của các giá trị khác nhau rồi lập bảng tần số

2) Tính số học sinh đóng góp trên 46 lon rồi tính tỉ số phần trăm để kết luận

1)

2) Số học sinh đóng gớp trên 46 vỏ lon gồm những học sinh đóng gớp 46 vỏ lon và những học sinh đóng góp 48 vỏ lon

Số học sinh đóng góp trên 46 vỏ lon là: 6 + 4 = 10

Tỉ số phần trăm những học sinh đóng gơp 46 vỏ lon so với học sinh lớp 9C là: $\dfrac{10}{40}.100\% = 25\%$

Vậy kết luận đó là sai.

1. Ta thay các vị trí có x trong biểu thức A thành giá trị 9 và tính giá trị biểu thức A.

2. Ta rút gọn biểu thức B về biểu thức mà đề đang yêu cầu chứng minh. Chú ý mẫu thức chung là  $x - 2\sqrt{x}$

3. Rút gọn biểu thức $A.B$. Đưa $P - \dfrac{3}{4}$ đưa về dạng rút gọn để chứng minh bé hơn 0.

1) Thay $x = 9\left( \text{TMDK} \right)$ vào biểu thức A, ta được: $A = \dfrac{\sqrt{9} - 2}{\sqrt{9} + 1} = \dfrac{1}{4}$

2) $B = \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} + \dfrac{4}{x - 2\sqrt{x}}$

$= \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} + \dfrac{4}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)} = \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 2} \right)\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} -} \right)} + \dfrac{4}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$= \dfrac{x - 4 + 4}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)} = \dfrac{x}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 2} \right)} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

3) $P = A.B = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}.\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$

Ta có: $P - \dfrac{3}{4} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{4\sqrt{x} - 3\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}{4\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} = \dfrac{\sqrt{x} - 3}{4\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}$

Để $P < \dfrac{3}{4}$ thì $\left. \dfrac{\sqrt{x} - 3}{4\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}\Leftrightarrow\sqrt{x} - 3 > 0 \right.$ (do $\sqrt{x} + 1 > 0,\forall x > 0$)$\left. \Leftrightarrow\sqrt{x} > 3\Leftrightarrow x > 9 \right.$

a. Tứ giác nội tiếp có tổng góc đối bằng $180^{\circ}$

b. Chứng minh bắc cầu: sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh FC.FA và FD.FB cùng bằng FE.FM

Chứng minh $\widehat{ICO} = 90^{o}$

c. Kẻ thêm Ax vuông góc với AE., kẻ By vuông góc với BE để tạo ra tứ giác nội tiếp có một đỉnh E. Chứng minh bán kính của đường tròn nột tiếp tứ giác đó phụ thuộc R.

a) Do điểm C và D nằm trên đường tròn đường kính AB nên $\widehat{ACB} = \widehat{ADB} = 90^{o}$

$\left. \Rightarrow\widehat{ECF} = \widehat{EDF} = 90^{o}\Rightarrow\widehat{ECF} + \widehat{EDF} = 180^{o} \right.$

Vậy tứ giác CEDF nội tiếp đường tròn tâm I đường kính EF

b) Gọi M là giao điểm của EF và AB

Trong tam giác ABF có hai đường cao AD và BC cắt nhau tại E nên E là trực tâm

$\left. \Rightarrow EM\bot AB \right.$

Xét $\Delta FCE$ và $\Delta FMA$ có:

$\widehat{AFM}$ chung

$\widehat{FCE} = \widehat{AMF} = 90^{o}$

$\left. \Rightarrow\Delta FCE \sim \Delta FMA\,\Rightarrow\dfrac{FC}{FE} = \dfrac{FM}{FA}\Leftrightarrow FC.FA = FE.FM\,\,(1) \right.$

Xét $\Delta FDE$ và $\Delta FMB$ có:

$\widehat{BFM}$ chung

$\widehat{FDE} = \widehat{FMB} = 90^{o}$

$\left. \Rightarrow\Delta FDE \sim \Delta FMB\,\Rightarrow\dfrac{FD}{FE} = \dfrac{FM}{FB}\Leftrightarrow FD.FB = FE.FM\,\,(2) \right.$

Từ (1) và (2) suy ra $FC.FA = FD.FB$

Tam giác FCE vuông tại C, có I là trung điểm EF nên IC = IE $\left. \Rightarrow\Delta ICE \right.$ cân tại I $\left. \Rightarrow\widehat{ICE} = \widehat{IEC} \right.$

Lại có $\left. OC = OB\,\Rightarrow\Delta OCB \right.$ cân tại O $\left. \Rightarrow\widehat{OCB} = \widehat{OBC} \right.$

Ta có: $\widehat{ICO} = \widehat{ICE} + \widehat{OCE} = \widehat{IEC} + \widehat{OBC} = \widehat{BEM} + \widehat{MBE} = 90^{O}$

Vậy IC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Ta có: $\widehat{AOC} + \widehat{COD} + \widehat{DOB} = 180^{o}$ và $\widehat{COD} = 90^{o}$$\left. \Rightarrow\widehat{AOC} + \widehat{DOB} = 90^{o} \right.$

Xét (O) ta có:

$\widehat{DAB} = \dfrac{1}{2}\widehat{DOB}$ và $\widehat{CBA} = \dfrac{1}{2}\widehat{COA}$$\left. \Rightarrow\widehat{DAB} + \widehat{CBA} = \dfrac{1}{2}\widehat{COA} + \dfrac{1}{2}\widehat{DOB} = 45^{o} \right.$

Xét tam giác AEB có: $\left. \widehat{EAB} + \widehat{EBA} + \widehat{AEB} = 180^{o}\Rightarrow\widehat{AEB} = 135^{o} \right.$

Qua A kẻ Ax vuông góc với AE. Qua B kẻ By vuông góc với BE. Gọi K là giao điểm của Ax và By

Xét tứ giác EAKB có $\widehat{KAE} = 90^{\circ}\left( {Ax\bot AE} \right)$ và $\widehat{KBE} = 90^{\circ}\left( {By\bot BE} \right)$$\left. \Rightarrow\widehat{KAE} + \widehat{KBE} = 180^{\circ} \right.$ nên tứ giác EAKB nội tiếp.

$\left. \Rightarrow\widehat{AKB} + \widehat{AEB} = 180^{\circ}\Rightarrow\widehat{AKB} + 135^{\circ} = 180^{\circ}\Rightarrow\widehat{AKB} = 45^{\circ} \right.$

Gọi H là trung điểm của EK $\left. \Rightarrow HA = HE = HK \right.$ ($\bigtriangleup AEK$ vuông tại A).

$\Rightarrow$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EAKB.

Xét (H): $\left. \widehat{AKB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AHB}\Rightarrow\widehat{AHB} = 90^{\circ} \right.$.

Xét $\bigtriangleup AHB\left( {\widehat{AHB} = 90^{\circ}} \right)$ có: HA = HB (bán kính đường tròn tâm H) $\left. \Rightarrow \bigtriangleup AHB \right.$ vuông cân tại H.

Mà AB không đổi nên H cố định.

Áp dụng định lí Pytago vào $\bigtriangleup AHB$ ta có:

$\left. HA^{2} + HB^{2} = AB^{2}\Leftrightarrow 2HA^{2} = 4R^{2}\Leftrightarrow HA^{2} = 2R^{2}\Leftrightarrow HA = \sqrt{2}R \right.$.

Vậy khi C thay đổi E chạy trên đường tròn $\left( {H;\sqrt{2}R} \right)$ cố định.

Gắn trục tọa độ vào của hầm để xác định phương trình parabol. Biểu diễn tọa độ của bốn đỉnh khung thép rồi viết biểu thức tính diện tích khung thép

Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Parabol có dạng $y = ax^{2}\left( {a < 0} \right)$

Khoảng cách từ điểm cao nhất của cửa đến mặt đất là 4 m, khoảng cách giữa hai chân cửa là 4 mét nên parabol đi qua điểm (2; -4)

$\left. \Rightarrow - 4 = a.2^{2}\Rightarrow a = - 1 \right.$

Parabol có dạng: $y = - x^{2}$

Cửa ABCD là hình chữ nhật có độ dài $AB = CD = 2\, cm$

Khi đó 4 đỉnh là $A\left( {m; - 4} \right),\, B\left( {- m; - 4} \right),\, C\left( {- m;m^{2}} \right),\, D\left( {m;m^{2}} \right)\left( {m > 0} \right)$

$\left. \Rightarrow AB = 2,\, BC = 4 - m^{2} \right.$

$\left. \Rightarrow S_{ABCD} = 2m\left( {4 - m^{2}} \right) \right.$

$\left. \Rightarrow S_{ABCD} - \dfrac{32}{3\sqrt{3}} = 2m\left( {4 - m^{2}} \right) - \dfrac{32}{3\sqrt{3}} \right.$

$= - 2\left( {m^{3} - 4m + \dfrac{16}{3\sqrt{3}}} \right) = - 2\left( {m^{2} - \dfrac{4}{\sqrt{3}}m + \dfrac{4}{3}} \right)\left( {m + \dfrac{4}{\sqrt{3}}} \right)$

$= - 2\left( {m - \dfrac{2}{\sqrt{3}}} \right)^{2}\left( {m + \dfrac{4}{\sqrt{3}}} \right) \leq 0,\forall m > 0$

$\left. \Rightarrow S_{ABCD} - \dfrac{32}{3\sqrt{3}} \leq 0\Rightarrow S_{ABCD} \leq \dfrac{32}{3\sqrt{3}} \right.$

Dấu “=” xảy ra khi $m = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

Dựa vào: Nếu phương trình bậc hai _{$ax^{2} + bx + c = 0$} có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích của hai nghiệm đó là _{$S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a};P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a}$}

Theo định lí Viet, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=12\\ x_1{x}_2=4\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 12} \\ {x_{1}x_{2} = 4} \end{array} \right.$

$T^{2} = \left( \dfrac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}} \right)^{2} = \dfrac{\left( {x_{1}{}^{2} + x_{2}{}^{2}} \right)^{2}}{\left( {\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}} \right)^{2}} = \dfrac{\left\lbrack {\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}} \right\rbrack^{2}}{x_{1} + x_{2} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}}} = \dfrac{\left\lbrack {12^{2} - 2.4} \right\rbrack^{2}}{12 + 2\sqrt{4}} = 1156$

Gọi số sản phẩm làm trong một ngày theo kế hoạch là x. Tìm điều kiện của x. Mô tả các dữ liệu còn lại theo biến x. Kết hợp ta được phương trình. Từ đó, xác định giá trị của x. Đối chiếu với điều kiện

Gọi số sản phẩm mỗi ngày tổ sản xuất phải làm theo kế hoạch là: $x\left( {0 < x < 300,x \in {\mathbb{N}}} \right)$ (sản phẩm)

Số ngày tổ sản xuất theo kế hoạch là: $\dfrac{300}{x}$(ngày)

Số sản phẩm mỗi ngày tổ sản xuất theo thực tế là: $x + 10$(sản phẩm)

Số ngày tổ sản xuất thực tế là: $\dfrac{300}{x + 10}$(ngày)

Do hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình:

$\dfrac{300}{x + 10} + 1 = \dfrac{300}{x}$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{300x}{x\left( {x + 10} \right)} + \dfrac{x\left( {x + 10} \right)}{x\left( {x + 10} \right)} = \dfrac{300\left( {x + 10} \right)}{x\left( {x + 10} \right)} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 300x + x^{2} + 10x = 300x + 3000 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} + 10x - 3000 = 0 \right.$$\left. \Rightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = 50\,\,\,(TM)} \\ {x = - 60\,(KTM)} \end{array}$ \right. \right.

Vậy mỗi ngày tổ sản xuất 50 sản phẩm theo kế hoạch

Thể tích hình nón là: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$

Bán kính đáy của hình nón là: r = 10:2 = 5 cm

Thể tích hình nón là: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \dfrac{1}{3}3,14.5^{2}.23 \approx 601,8\left( {cm^{3}} \right)$