Đề học kì 2 Toán 9 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Thạch Thất – Hà Nội

Dựa vào bảng tần số ghép nhóm đã cho tính tần số tương đối

Dựa vào bảng tần số ghép nhóm đã cho, tần số ghép nhóm của nhóm [160; 165) là 12.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [160; 165) là $\dfrac{12.100}{40}\% = 30\%$

Tìm kết quả thuận lợi của biến cố rồi tìm xác suất của biến cố

Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3” là 4; 5; 6; 7; 8.

Xác suất của biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3” là: $\dfrac{5}{8} = 0,625$

a) Thay x = 9 vào thỏa mãn ĐKXĐ

b) Rút gọn phương trình với mẫu số chung là $\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)$

c) Tìm P, thay P > 1 tìm x thỏa mãn

a) Thay x = 9 (TM) vào biểu thức A, ta có:

$A = \dfrac{\sqrt{9} + 5}{2\sqrt{9} - 4} = \dfrac{3 + 5}{2.3 - 4} = \dfrac{8}{2} = 4$

Vậy A = 4 khi x = 9.

b) $B = \dfrac{x}{x - 4} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}$ với $x > 0,x \neq 4$.

$B = \dfrac{x + \sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 2}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}$

$B = \dfrac{x + 2\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

c) Ta có $P = \dfrac{A}{B} = \dfrac{\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} - 4}.\dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x}}$

Ta có $\left. P > 1\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x}} - 1 > 0\Leftrightarrow\dfrac{5 - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} > 0 \right.$

mà $2\sqrt{x} > 0$ nên $\left. 5 - \sqrt{x} > 0\Leftrightarrow x < 25 \right.$

Kết hợp với điều kiện x > 0, x ≠ 4 suy ra $0 < x < 25$, x ≠ 4

Gọi x, y lần lượt là số tiền mà cửa hàng đã vay từ ngân hàng A và B.

Biến đổi dữ kiện đề bài theo x,y.

Lập hệ phương trình và giải hệ tìm x, y.

Gọi x (triệu đồng), y (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà cửa hàng đã vay từ ngân hàng A và B (đk: 0 < x, y < 600).

Cừa hàng đã vay tổng 600 triệu đồng nên: $x + y = 600$

Vì lãi suất của hai ngân hàng A và B lần lượt là 8%/năm và 9%/năm, tổng tiền lãi một năm phải trả cho cả hai ngân hàng là 50 triệu đồng nên: $8\%.x + 9\%.y = 50$ hay $8x + 9y = 5000$

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=600\\ 8x+9y=5000\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 600} \\ {8x + 9y = 5000} \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được: x = 400 (t/m) và y = 200 (t/m)

Vậy số tiền của hàng đã vay từ ngân hàng A và B lần lượt là 400 triệu đồng và 200 triệu đồng.

Thể tích nước trong bồn V = $\pi\ .R^{2}h~$

Đổi 1,75m = 17,5 dm

Thể tích nước trong bồn là:

$V = \pi\ .R^{2}h = ~3,14. 5^{2}.17,5 = 1373,75 dm^{3} = 1373,75$

Vậy thể tích nước xấp xỉ 1373,75 lít

a) Hai góc vuông cùng nhìn 1 đường thẳng thì cùng thuộc một đường tròn nội tiếp

b) Chứng minh 2 góc đồng dạng

c) Chứng minh 2 góc đồng dạng rồi suy ra tỷ lệ cạnh

a) Ta có $BE\bot AC$ (gt) nên $\widehat{AEH} = 90^{0}$. Suy ra $\Delta AEH$ vuông tại E.

Suy ra A, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH (1)

Ta có $CF\bot AB$ (gt) nên $\widehat{HFA} = 90^{0}$. Suy ra $\Delta AFH$ vuông tại F.

Suy ra A, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH (2)

Từ (1), (2) suy ra bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

b) Xét đường tròn (O) có:

$\widehat{ABC} = \widehat{AQC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{�}{AC}$)

$\widehat{ACQ} = 90^{\circ}$(nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ACQ$ có $\widehat{ABC} = \widehat{AQC};\widehat{ADB} = \widehat{ACQ} = 90^{0}$

Suy ra $\Delta ADB \backsim \Delta ACQ\,\left( {g.g} \right)$. Suy ra $\widehat{BAD} = \widehat{CAQ}$

c) Vì $\widehat{BAD} = \widehat{CAQ}$ nên $\widehat{BAD} + \widehat{DAQ} = \widehat{DAQ} + \widehat{QAC}$

Suy ra $\widehat{BAI} = \widehat{PAE}$

Chứng minh $\Delta AEP \backsim \Delta ABI\,\left( {g.g} \right)$. Từ đó suy ra $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AP}{AI}$ (3)

Chứng minh $\Delta AEH \backsim \Delta ABQ\,\left( {g.g} \right)$. Từ đó suy ra $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AH}{AQ}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\dfrac{AP}{AI} = \dfrac{AH}{AQ}$ hay $\dfrac{AP}{AH} = \dfrac{AI}{AQ}$.

Suy ra $PI$ song song với $HQ$ (định lý Thales đảo).

Gọi sân đó là hình vuông ABCD, phần nát gạch màu trang trí là hình vuông MNPQ.

Dựa vào tính chất và bất đẳng thức Cauchy để tìm độ dài cạnh.

Gọi cái sân đó là hình vuông ABCD, phần nát gạch màu trang trí là hình vuông MNPQ

Ta có: ∆AMQ = ∆BNM = ∆CPN = ∆DQP.

Gọi AM = x thì MB = 8 - x

Diện tích hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất khi tổng diện tích 4 tam giác vuông ở 4 góc hình vuông ABCD là lớn nhất. Gọi S là tổng diện tích 4 tam giác đó, ta có:

$S = 2. AM. AQ$

Mà $AM + AQ = AM + MB = 8\ (m)$

$\begin{array}{l}{\left(AM-MB\right)}^2\ge 0.\\ A{M}^2+M{B}^2\ge 2.AM\mathrm{.}MB\\ {\left(AM+MB\right)}^2\ge 4.AM\mathrm{.}MB\end{array}$$\begin{array}{l} {\left( {AM - MB} \right)^{2}~ \geq 0.} \\ {AM^{2} + MB^{2} \geq 2.AM.MB} \\ {\left( {AM + MB} \right)^{2} \geq 4.AM.MB} \end{array}$

$2.AM.MB\ \leq \dfrac{{(AM + MB)}^{2}}{2} = \dfrac{8^{2}}{2} = 32$

Hay S ≤ 32.

Dấu “=” xảy ra khi $AM = MB = \dfrac{AB}{2} = 4.$

Khi đó M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

Vậy khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA thì hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất.