Để kiểm tra học kì 2 môn Toán 9 Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2024-2025

$\sqrt{2x - 4}$ xác định khi $2x - 4 \ge 0$, từ đó tìm được $x$.

$\sqrt{2x - 4}$ xác định khi $2x - 4 \ge 0$

$2x \ge 4$

$x \ge 2$.

Nếu $a + b = 90^{\circ}$ thì $\text{tan}a = \text{cot}b$, $\text{cos}a = \text{sin}b$, $\text{sin}a = \text{cos}b$.

Vì $a + b = 35^{\circ} + 55^{\circ} = 90^{\circ}$ do đó $\text{tan}a = \text{cot}b$, $\text{cos}a = \text{sin}b$, $\text{sin}a = \text{cos}b$.

Đáp án sai là: $\text{sin}a = \text{sin}b$.

Thể tích hình nón có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ là: $V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2}h$.

Thể tích hình nón là: $V = \dfrac{1}{3}\pi 10^{2}.10 = \dfrac{1 000\pi}{3} \left(cm^3\right)$.

+ Biến đổi $x^{2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left({x + 1}\right)$, ta thu được phương trình $\left( {x - 1} \right)\left({x + 1}\right)\left( {x + 2} \right) = 0$.

+ Giải các phương trình ${x - 1} = 0$; ${x + 1} = 0$; ${x + 2} = 0$ ta tìm được $x$, từ đó tính được tổng các nghiệm của phương trình đã cho.

$\left( {x^{2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

$\left( {x - 1} \right)\left({x + 1}\right)\left( {x + 2} \right) = 0$

${x - 1} = 0$ hoặc ${x + 1} = 0$ hoặc ${x + 2} = 0$

$x = 1$ hoặc $x = -1$ hoặc $x = -2$

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: ${1 + (-1) + (-2) = -2}$. 

+ Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ, ta thu được một phương trình ẩn $x$, từ đó tìm được $x$.

+ Thay $x$ tìm được vào phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được $y$.

\(\left\{ \begin{array}{l} { 3x + 2y = 4 } \\ { x – 2y = 0 } \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} { 3x + 2y + x – 2y = 4 + 0 } \\ { x – 2y = 0 } \end{array} \right.\)

$\{\begin{array}{l}4x=4\\ x=2y\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} { 4x = 4 } \\ { x = 2y } \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} { x = 1 } \\ { y = \dfrac{1}{2} } \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $\left(1; \dfrac{1}{2}\right)$.

Số lần xuất hiện của một giá trị trong mẫu dữ liệu được gọi là tần số.

Số lần xuất hiện của một giá trị trong mẫu dữ liệu được gọi là tần số.

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^{\circ}$.

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^{\circ}$.

+ Từ đồ thị hàm số trong hình vẽ ta thấy điểm $(2; 2)$ thuộc đồ thị hàm số.

+ Trong các đồ thị hàm số đáp án cho, xét xem điểm $(2; 2)$ thuộc đồ thị hàm số nào thì đó là đồ thị hàm số cần tìm.

Từ đồ thị trong hình vẽ ta thấy điểm $(2; 2)$ thuộc đồ thị hàm số.

Thay $x = 2$ vào hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$ ta có: $y = \dfrac{1}{2}\cdot 2^2 = 2$.

Suy ra, điểm $(2; 2)$ thuộc đồ thị hàm số  $y = \dfrac{1}{2}x^2$.

Do đó, đồ thị hàm số cần tìm là: $y = \dfrac{1}{2}x^2$.

Xét phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c = 0 \left( a\ne 0 \right)$.

Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là ${{x}_{1}}=1$, còn nghiệm kia là ${{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}$.

Ta thấy: $1 + 3 - 4 = 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1 = \dfrac{-4}{1} = -4, x_2 = 1$.

Do đó, $x_{1} - x_{2} = (-4) - 1 = -5$

+ Vì tuổi mẹ hiện nay gấp $8$ lần tuổi con và tuổi mẹ năm nay là $x$ nên tính tuổi con hiện nay theo $x$, từ đó tính được tuổi của con sau 3 năm nữa theo $x$.

Tuổi của con năm nay là: $\dfrac{x}{8}$ (tuổi).

Ba năm sau thì tuổi của con là: $\dfrac{x}{8} + 3$ (tuổi).

+ Lớp $9C$ có $x$ học sinh, vắng $8$ bạn khi tham gia trồng cây nên tính được số học sinh thực tế tham gia trồng cây theo $x$.

+ Lớp $9C$ phải trồng $480$ cây, mỗi bạn phải trồng thêm $3$ cây mới xong từ đó tính được mỗi học sinh phải trồng bao nhiêu cây theo $x$.

Số học sinh lớp $9C$ thực tế tham gia trồng cây là: \(x – 8\) (học sinh).

Vì \(x – 8\) học sinh trồng $480$ cây, mỗi bạn phải trồng thêm $3$ cây mới xong nên mỗi học sinh cần trồng: \(\dfrac{480}{x – 8}\) (cây) hoặc $\dfrac{480}{x} + 3$ cây.

Số bài điểm 9 = tổng số bài. Tần số tương đối của số bài được điểm 9.

Số bài được điểm $9$ là: $400\cdot 15\% = 60$ (bài)

Đếm số giá trị nhỏ hơn $100$, đó là số hộ gia đình tiêu thụ với mức điện năng nhỏ hơn 100kwh.

Dựa vào bảng ta thấy, các giá trị nhỏ hơn $100$ là: $85, 65, 65, 70, 50, 45, 45, 90, 53, 70, 41, 50$ 

Do đó, số hộ gia đình tiêu thụ với mức điện năng nhỏ hơn 100kwh là $12$ gia đình.

Số máy vi tính có thời gian sử dụng từ $7,4$ giờ đến dưới $7,8$ giờ = Số máy vi tính có thời gian sử dụng từ $7,4$ giờ đến dưới $7,6$ giờ + Số máy vi tính có thời gian sử dụng từ $7,6$ giờ đến dưới $7,8$ giờ.

Theo bảng thống kê ta thấy:

Có $4$ máy vi tính có thời gian sử dụng từ $7,4$ giờ đến dưới $7,6$ giờ, có $7$ máy vi tính có thời gian sử dụng từ $7,6$ giờ đến dưới $7,8$ giờ.

Số máy vi tính có thời gian sử dụng từ $7,4$ giờ đến dưới $7,8$ giờ là: $4 + 7 = 11$ (máy).

Hình chữ nhật là tứ giác nội tiếp một đường tròn.

Hình chữ nhật là tứ giác nội tiếp một đường tròn.

+ Từ diện tích hình vuông, ta tính độ dài cạnh của hình vuông.

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông = độ dài cạnh $\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Độ dài cạnh của hình vuông là: $\sqrt{16} = 4(cm)$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông là: $\dfrac{4\sqrt{2}}{2}= 2\sqrt{2} (cm)$.

+ Chứng minh $\Delta AOB = \Delta COB = \Delta COD = \Delta EOD = \Delta EOF = \Delta AOF$ theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh, suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=\widehat{FOA}$, từ đó tính được $\widehat{AOB}$.

Vì $ABCDEF$ là lục giác đều nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $OA = OB = OC = OD= OE = OF, AB = BC = CD = DE = EF = FA$.

Do đó, $\Delta AOB = \Delta COB = \Delta COD = \Delta EOD = \Delta EOF = \Delta AOF (c - c - c)$.

Suy ra: $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=\widehat{FOA}$.

Vậy $\widehat{AOB}= \dfrac{360{}^\circ }{6}=60{}^\circ$.

Phép quay thuận chiều ${{\alpha }^{o}}\left( {{0}^{o}}<{{\alpha }^{o}}<{{360}^{o}} \right)$ tâm $O$ giữ nguyên điểm $O$, biến điểm $A$ khác điểm $O$ thành điểm $B$ thuộc đường tròn $(O; OA)$ sao cho tia $OA$ quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia $OB$ thì điểm $A$ tạo nên cung $AB$ có số đo ${{\alpha }^{o}}$.

Phép quay thuận chiều 120° tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $C$, biến điểm $C$ thành điểm $B$, biến điểm $B$ thành điểm $A$ nên phép quay thuận chiều 120° tâm $O$ biến tam giác $ABC$ thành chính nó.

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq} =2 \pi Rh$ ($R$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao).

Chiều cao của hình trụ là: $\dfrac{300}{2.3,14.5}\approx 9,55\left( cm \right)$

Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là: $S = 4\pi R^2$.

Bán kính mặt cầu là: $6: 2 = 3 (cm)$.

Diện tích mặt cầu là: $4\pi\cdot 3^2 =36\pi \left(cm^2\right)$. 

+ Mẫu thức chung của hai phân thức là: $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$, từ đó tiến hành quy đồng để đưa hai phân thức về hai phân thức cùng mẫu và thực hiện phép trừ hai phân thức cùng mẫu.

$B = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{1}{x - \sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} - \dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

Vậy $B = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0,x \neq 1$.

a) Thay $m = - 1$ vào phương trình đầu bài cho, ta thu được phương trình ẩn $x$, sử dụng nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm được nghiệm của phương trình ẩn $x$ đó.

b) + Tìm điều kiện của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt.

+ Theo định lí Viète ta tính được ${x_{1} + x_{2}}, {x_{1}.x_{2}}$ 

+ Biến đổi vế trái của phương trình $x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = 11$ sao cho xuất hiện các biểu thức chứa ${x_{1} + x_{2}}, {x_{1}.x_{2}}$.

+ Thay ${x_{1} + x_{2}}, {x_{1}.x_{2}}$ tính theo định lí Viète ở trên vào phương trình vừa biến đổi, ta thu được phương trình ẩn $m$, giải phương trình ẩn $m$, đối chiếu với điều kiện và kết luận.

$x^{2} + 2x - 2m - 5 = 0\ (1)$. 

a) Thay $m = - 1$ vào phương trình $(1)$ ta được $x^{2} + 2x - 2.( - 1) - 5 = 0 \ (2)$

$x^{2} + 2x - 3 = 0$

Ta thấy $a + b + c = 1 + 2 + ( - 3) = 0$ nên phương trình $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} = 1;x_{2} = - 3$.

Vậy với $m = - 1$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là $x_{1} = 1;x_{2} = - 3$.

b) $\Delta' = 1^{2} - 1( - 2m - 5) = 1 + 2m + 5 = 2m + 6$

Để phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt thì

$\left. \Delta' > 0\Rightarrow 2m + 6 > 0 \right.$ hay $m > - 3$

Theo hệ thức Viète ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ x_1\mathrm{.}{x}_2=-2m-5\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = - 2} \\ {x_{1}.x_{2} = - 2m - 5} \end{array} \right.$

Ta có: $x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = 11$

$\left(x_1 + x_2\right)^2 - x_{1}x_{2} = 11\ (*)$

Thay ${x_{1} + x_{2} = - 2}, {x_{1}.x_{2} = - 2m - 5}$ vào $(*)$ ta có:

$(-2)^2 -({-2m - 5}) = 11$

$4 + 2m + 5 = 11$

$2m = 2$

$m = 1$ (thỏa mãn)

Vậy $m = 1$ thỏa mãn đề bài.

b) Sau khi tìm được $m$, cần đối chiếu với điều kiện để xem $m$ có thỏa mãn điều kiện hay không.

a) Chứng minh tam giác $CHA$ vuông tại $H$, tam giác $CKA$ vuông tại $K$, suy ra bốn điểm $C,H,A,K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$, suy ra đpcm.

b) + Chứng minh $\widehat{CDE} = \widehat{CAK}, \widehat{CHK} = \widehat{CAK}$ nên $\widehat{CHK} = \widehat{CDE}$, suy ra $KH//ED$.

+ Chứng minh $H$ là trung điểm của $CD$, kết hợp với $KH//ED$, suy ra $K$ là trung điểm của $FC$.

+ $\Delta CAF$ có $K$ là trung điểm của $CF$,$AK\bot CF$$\left. \Rightarrow\Delta CAF \right.$ cân tại $A$.

c) + Chứng minh $AF = AC = AD$.

+ Kẻ $DI\bot AF$ tại $I$ nên tính được $S_{\Delta ADF} = \dfrac{1}{2}DI.AC$.

+ $S_{\Delta ADF}$ lớn nhất khi $DI$ lớn nhất.

+ Vì $DI \leq DA = AC$ nên diện tích tam giác $ADF$ lớn nhất bằng $\dfrac{1}{2}AC^{2}$.

+ Dấu "=" xảy ra khi $\Delta DAF$ vuông cân tại $A$, khi đó $E$ là điểm chính giữa của cung $AB$.

a) Do $CD\bot AB$ tại $H$

$\left. \Rightarrow\Delta CHA \right.$ vuông tại $\left. H\Rightarrow H \in \right.$ đường tròn đường kính $AC$ $(1)$

Do $CK\bot AE$ tại $K$

$\left. \Rightarrow\Delta CKA \right.$ vuông tại $\left. K\Rightarrow K \in \right.$ đường tròn đường kính $AC$$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$$\Rightarrow$ $4$ điểm $C,H,A,K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$.

$\Rightarrow$ Tứ giác $AHCK$ nội tiếp (đpcm)

b) Do tứ giác $AHCK$ nội tiếp $\left. \Rightarrow\widehat{CHK} = \widehat{CAK} \right.$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $CK$).

Xét đường tròn $(O)$ có $\widehat{CDE} = \widehat{CAK}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $EC$).

Từ đó $\left. \Rightarrow\widehat{CHK} = \widehat{CDE} \right.$ mà 2 góc này ở vị trí đồng vị $\left. \Rightarrow KH//ED \right.$.

$\Delta OCD$ cân tại $O$ có $OH$ là đường cao đồng thời là trung tuyến

$\Rightarrow$$H$ là trung điểm của $CD$.

Xét $\Delta CDF$ có $H$ là trung điểm của $CD$, $HK//DF ⇒ \Rightarrow ⇒ K$ là trung điểm của $CF$

Xét $\Delta CAF$ có $K$ là trung điểm của $CF$,$AK\bot CF$$\left. \Rightarrow\Delta CAF \right.$ cân tại $A$(đpcm).

c) $\Delta CAF$ cân tại $A$ $\left. \Rightarrow AF = AC \right.$.

Chứng minh được $\Delta CAD$ cân tại $A$ $\left. \Rightarrow AD = AC \right.$$\left. \Rightarrow AF = AC = AD \right.$.

Kẻ $DI\bot AF$ tại $\left. I\Rightarrow S_{\Delta ADF} = \dfrac{1}{2}DI.AF = \dfrac{1}{2}DI.AC \right.$.

Do $AC$ không đổi nên $S_{\Delta ADF}$ lớn nhất khi $DI$ lớn nhất.

Mà $\left. DI \leq DA = AC\Rightarrow S_{\Delta ADF} \leq \dfrac{1}{2}AC^{2} \right.$(không đổi).

Dấu “=” xảy ra khi $I \equiv A$ khi \(\left. DA\bot AF\Rightarrow \right.\[\Delta DAF\) vuông cân tại \(A\]\left. \Rightarrow\widehat{EDA} = 45^{\circ}\Rightarrow \right.\) $E$ là điểm chính giữa của cung $AB$.

Vậy $E$ là điểm chính giữa của cung $AB$ thì diện tích $\Delta ADF$ lớn nhất bằng $\dfrac{1}{2}AC^{2}$.

+ Hình vẽ dưới đây minh họa cho bài toán trên với $A,B$ lần lượt là các cột dọc, $C$ là vị trí đặt bóng và $O$ là vị trí điểm phạt đền.

+ Chứng minh $3$ điểm $A,B,C$ cùng thuộc đường tròn $\left( {O;11,6m} \right)$, suy ra $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$.

Hình vẽ dưới đây minh họa cho bài toán trên với $A,B$ lần lượt là các cột dọc, $C$ là vị trí đặt bóng và $O$ là vị trí điểm phạt đền.

Vì $OA = OB = OC = 11,6 m$ nên $3$ điểm $A,B,C$ cùng thuộc đường tròn $\left( {O;11,6m} \right)$.

Xét $\left( {O;11,6m} \right)$ có $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ $AB$) $\left. \Rightarrow\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}36^{\circ} = 18^{\circ} \right.$.

Vậy khi quả bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền $11,6m$ thì góc sút bằng $18^{\circ}$.